Geometría IMO 1988

Question

(OMI 1988/1) Considere dos círculos de radios $R$ y $r$ $(R > r)$ con el mismo centro. Deje $P$ ser un punto fijo en el círculo más pequeño y $B$ una variable de un punto en el círculo más grande. La línea de $BP$ cumple con el círculo más grande de nuevo en $C$. La perpendicular $l$ $BP$ $P$cumple con el círculo más pequeño de nuevo en $A$. (Según nuestro convenio, si $l$ es tangente al círculo en$P,$, a continuación, tomamos $A = P$.)

(i) Encontrar el conjunto de valores de $BC^2$ + $CA^2$ + $AB^2$

(ii) Hallar el lugar geométrico del punto medio de $AB$.

Answer 1

Adición de un poco más perpendiculares, incrementamos $PA$ a un rectángulo $\square PAQA^\prime$ con diagonal $PQ$ un diámetro del círculo más pequeño. (Hemos explotado el hecho de que el ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.) Esto hace que $\square AQBC$ un trapecio isósceles, cuya altura vamos a denotar $q$, menor base $p$, y la mayor base $p+2s$.

Tenga en cuenta que Pitágoras nos da

$$|PQ|^2 = p^2 + q^2 = 4 r^2 \qquad |CA|^2 = q^2 + s^2 \qquad |AB|^2 = q^2 + (p+s)^2$$

Por otra parte, la (unsigned) el Poder de Punto de $P$ en relación con el círculo grande es $$R^2 - r^2 = |PC| |PB| = s \left( p + s \right)$$

Por lo tanto, $$\begin{align} |AB|^2 + |BC|^2 + |CA|^2 &= \left( q^2 + \left( p + s \right)^2 \right) + \left( p + 2 s \right)^2 + \left( q^2 + s^2 \right) \\ &= 2 \left( p^2 + q^2 \right) + 6 s \left( p + s \right) \\ &= 8 r^2 + 6 \left( R^2 - r^2 \right) \\ &= 2 \left( 3 R^2 + r^2 \right) \end{align}$$

(Similar álgebra ---y un idéntico resultado--- deriva de la aplicación del teorema de Ptolomeo a la (necesariamente cíclico) trapecio isósceles: $$|CA| |BQ| + |AQ| |BC| = |AB||QC|$$ donde$|BQ| = |CA|$$|QC| = |AB|$.)

En consecuencia, la suma de cuadrados es independiente de la ubicación del punto de $B$, por lo que la respuesta a (i) es el singleton conjunto que contiene a $2\left( 3R^2 + r^2\right)$.

Para (ii), extender el trapecio más corto de base para que coincida con el tiempo, la obtención de rectángulo $\square BCC^\prime B^\prime$.

El punto medio, $M$ $AB$ es siempre el punto medio de la $PB^\prime$, mientras que el $B^\prime$ es siempre un punto en el círculo más grande. Por lo tanto, $M$ es una dilatación de $B^\prime$ $P$ con factor de escala $1/2$, y el locus de $M$ es el correspondiente dilatación de la legitimación de $B^\prime$ (aka, el círculo grande).

Nota: El locus de $N$, el punto medio de la $AC$ ( $PC^\prime$ ), es el mismo círculo. Asimismo, con los puntos medios de $PC$$PB$.

Answer 2

$X$ es punto medio de $AB$. Fácil ver que $XC$ divide $OP$ $1:2$ proporción. Para que una homotecia de $-0.5$ centradas en el punto medio de $OP$ envía $C$ $X$. Puesto que $C$ se mueve en un círculo así $X$ se mueve en un círculo demasiado y la primera parte es obvia.