$X$ Y $Y$ espacios métricos, es un inyectivo de $f$ $X$ $Y$, y $f$ establece cada conjunto compacto en $X$ aplastar sistema en $Y$. ¿Cómo probar $f$ es continua mapa?
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Respuesta
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Desde $X$ $Y$ son de métrica espacios, es suficiente para mostrar que si $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia convergente en $X$ con límite de $x$, $\langle f(x_n):n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia convergente en $Y$ con límite de $f(x)$; en las palabras, f preserva secuencias convergentes.
Supongamos que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a$x$$X$. Si hay un $n_0\in\Bbb N$ tal que $x_n=x$ todos los $n\ge n_0$, es trivialmente cierto que $\langle f(x_n):n\in\Bbb N\rangle\to f(x)$, por lo que asume (por el paso a una larga si es necesario) que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia de puntos distintos. (Desde $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a$x$, y finalmente no constantes, en $x$, no se puede tener una constante infinita larga: para cada una de las $n\in\Bbb N$ debe haber un $m>n$ tal que $x_k\ne x_n$ siempre $k\ge m$.)
Para cada una de las $n\in\Bbb N$$K_n=\{x\}\cup\{x_k:k\ge n\}$; cada una de las $K_n$ es compacto y lo infinito. (Por qué?) Por hipótesis, por lo tanto, cada una de las $f[K_n]$ es compacto.
Por comodidad vamos a $y=f(x)$, y deje $y_n=f(x_n)$$H_n=f[K_n]$$n\in\Bbb N$. Por hipótesis de cada una de las $H_n$ es compacto y el infinito, de modo que cada uno de ellos contiene un punto límite. Fix $n\in\Bbb N$. Para cada $k\ge n$, $Y\setminus H_{k+1}$ es un espacio abierto de nbhd de $y_k$ que contiene sólo un número finito de puntos de $H_n$ (por qué?), por lo $y_k$ no puede ser un punto límite de $H_n$. Por lo tanto, para cada una de las $n\in\Bbb N$ el único posible punto límite de $H_n$ $y$ sí. A partir de aquí, usted debería ser capaz de demostrar sin demasiados problemas que $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle\to y$ y que, por ende, $f$ es continua.
