Interesante rompecabezas sobre una esfera y algunos círculos

Question

Supongamos que tengo una esfera y elijo un punto de $P$. A continuación, dibuje $N\ge 3$ círculos de la esfera que pasa a través de ese punto de una manera tal que todos los puntos de intersección de que el resultado final involucrar $\ge 3$ círculos. Entonces, ¿por qué debe haber un punto de $P$ donde todos los círculos que pasan a través de?

Mis pensamientos son que no podemos tener una poligonal de la descomposición de la esfera, donde cada vértice tiene $\ge 6$ bordes de salir (sigue a partir de la relación de Euler). Así que no tiene que ser un "objeto" con 2 bordes. Pero entonces yo no estoy seguro de cómo a la conclusión de que la información anterior es verdadera.

Añadido: creo que @joriki 's suposición es correcta -- los círculos no sólo toque en $P$. De lo contrario, la pregunta sería extremadamente mal.

Answer 1

Contraejemplo: considerar 3 círculos cuyos centros están en la misma longitud y que todos pasan por el Polo Norte (P). Entonces el único punto de intersección es P, y se trata de todos los 3 círculos.

Answer 2

Esto es equivalente a la de Sylvester-Gallai problema en el plano Euclidiano (por la proyección estereográfica como en la otra respuesta, entonces proyectivas de la dualidad). Como se sospecha en la pregunta no hay una prueba usando la característica de Euler, que ha sido redescubierto muchas veces. El extenso artículo de la Wikipedia sobre este tema de las fechas que datan de 1940 en un papel por E. Melchor. http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theorem . También hay métricas de las pruebas que considere la posibilidad de un extremal pieza del diagrama como el menor punto de la línea de la distancia mínima o cero área de un triángulo y demostrar que no distinto de cero mínimo puede existir.

Answer 3

Esta es sólo una respuesta parcial que no puedo ver cómo completar fácilmente, pero puede ayudar a otros a encontrar uno. La aplicación de una proyección estereográfica con centro en el polo norte $P$ sobre un plano paralelo al plano tangente en $P$ (por ejemplo, el plano del ecuador), los círculos que pasan a través de $P$ llegan a ser, precisamente, las líneas en el plano. Por lo tanto, la pregunta que da lugar a la siguiente:

Supongamos que un conjunto finito $S$ de las líneas en el plano tiene la propiedad "siempre que dos líneas de $S$ se cruzan, hay al menos un tercio de la línea de $S$ que pasa por el punto de intersección". Debe entonces ser el caso de que las líneas de $S$ son de todo ser paralelos o todos pasan a través de un punto fijo del plano?

La condición añadida a la pregunta original (no de tangencia de los círculos en $P$) equivale a la exclusión de las líneas paralelas en el conjunto (cuyos círculos sería tangente a $P$); sin embargo, creo que incluso la pregunta de arriba para tener una respuesta afirmativa, que es una declaración más fuerte (uno se puede permitir el paralelismo, siempre que uno sólo afirma que no puede existir más de un punto de intersección entre algunas de las líneas de $S$). Creo que esto debe ser bastante clásica resultado, pero yo no podía ver de un simple argumento (basado en el conteo de líneas y interections, o en la consideración de que el casco convexo de todos los puntos de intersección, y tal) que lo demuestra. Probablemente estoy con vistas a algo simple.

Uno puede, sin embargo, llegar bastante cerca de una configuración que estaría en contradicción con la propiedad, por ejemplo, los lados y las diagonales de un paralellogram, que dar una prohibido intersección de dos líneas (en el centro). O un triángulo con sus separadores y las líneas uniendo los puntos medios de los lados (hay tres espurias intersecciones). Por supuesto, hay infinidad de colecciones de líneas que desmentir la declaración, sin necesidad de "finito", por ejemplo, las líneas en las tres direcciones en una malla triangular o aún más sencillo, el conjunto de todas las líneas en el plano.

Ya casi contraejemplos a menudo implican líneas paralelas, podría ser más fácil con el supuesto de que no se paralelas líneas en $S$, pero aún no puedo ver una sencilla prueba.