Vamos a considerar simplificado el problema de autovalores de
$$
C = A - \epsilon B, \quad a = a^\ > 0
$$
donde $B = \operatorname{diag}(A)$.
Vamos a inspeccionar la ecuación
$$
\operatorname{det} (\epsilon B) = 0.
$$
Desde $B$ es una matriz diagonal es fácil construir $B^{-1/2}$ - matriz diagonal con los elementos planteados en $-1/2$ de la energía.
$$
\operatorname{det} B^{1/2})
\operatorname{det} B^{-1/2}AB^{-1/2} - \epsilon)
\operatorname{det} B^{1/2})
= 0\\
\operatorname{det} B^{-1/2}AB^{-1/2} - \epsilon) = 0.
$$
La matriz $G = B^{-1/2}AB^{-1/2}$ es positiva definida desde
$$
x^\la parte superior B^{-1/2}AB^{-1/2}x = (AB^{-1/2}x, B^{-1/2}x) > 0, \quad \forall x \neq 0
$$
Así, todos los autovalores de a $G$ son positivas, y esas son precisamente las raíces $\epsilon_i$ de
$$
\operatorname{det}(G - \epsilon) = 0.
$$
Suponga que $0 < \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \leq \dots \leq \epsilon_n$.
Suponiendo que $\lambda_{\min}(C)$ es una función continua de $\epsilon$ (que suena cuerdo) y obviamente $\lambda_{\min}(A) > 0$
la función $$\lambda_{\min}(A - \epsilon B)$$ thus is positive when $0 \leq \epsilon < \epsilon_1$. At $\epsilon = \epsilon_1$ the determinant of the $\epsilon B$ vanishes, so $\lambda_{\min}$ no puede ser positivo.
