Deje $f$ ser un no-constante de la función tal que $\left \lvert f(z) \right\lvert=1$ por cada $z$$\left \lvert z \right\lvert=1$.

Question

Yo estaba pensando en el problema que dice:

Deje $f$ ser un no-constante de la función tal que $\left | f(z) \right |=1$ por cada $z$$\left \lvert z \right \lvert =1$. Luego de que la opción siguiente(s) es/son correcta?

• (a) $f$ tiene un cero en el abierto de la unidad de disco,
• (b) $f$ siempre tiene un cero fuera de la cerrada de la unidad de disco,
• (c) $f$ no necesita tener ningún cero,
• (d) $f$ tiene exactamente un cero en el abierto de la unidad de disco.

Si tomamos $f(z)=z^n$, entonces la condición se cumple y creo que la opción (a) es la correcta. Pero no puedo predecir nada sobre las otras opciones.

Por favor, ayudar. Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Para (a), si no era cierto, aplicar el máximo de módulo de principio a $1/f$ y la unidad de disco.

(b) $f(z)=z$ dio un contra-ejemplo.

(c) se Refiere a (a).

(d) a reflexionar sobre la factorización de $f$ (con elementos de la forma $f(z)=\prod\frac{z-\alpha_j}{1-\bar \alpha_jz}g(z)$ donde $g$ no se desvanecen en el abierto de la unidad de disco. Como $f$ tiene que ser todo, ¿qué podemos decir acerca de la $\alpha_j$?