Expresar en términos de los polinomios simétricos.

Question

Cómo expresar $$a^7+b^7+c^7$$ in terms of symmetric polynomials ${\sigma}_{1}=a+b+c$, ${\sigma}_{2}=ab+bc+ca$ and ${\sigma}_{3}=abc$ ?

Answer 1

Podemos tomar un enfoque ligeramente diferente. Tenemos que $a,b,c$ son las raíces del polinomio: $$ p(x)=x^3-\sigma_1 x^2+\sigma_2 x-\sigma_3 $$ por lo tanto los valores propios de la compañía matriz: $$ M = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & \sigma_3 \\ 1 & 0 & -\sigma_2 \\ 0 & 1 & \sigma_1\end{array}\right) $$ así: $$\begin{eqnarray*} a^7+b^7+c^7 &=& \operatorname{Tr}\left(M^7\right)\\&=&\sigma_1^7 - 7 \sigma_1^5 \sigma_2 + 14 \sigma_1^3 \sigma_2^2 - 7 \sigma_1 \sigma_2^3 + 7 \sigma_1^4 \sigma_3 - 21 \sigma_1^2 \sigma_2 \sigma_3 + 7 \sigma_2^2 \sigma_3 + 7 \sigma_1 \sigma_3^2.\end{eqnarray*} $$

Answer 2

Sugerencia:

$$a^n+b^n+c^n=(a+b+c)(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-(ab+bc+ca)(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})+abc(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3}), \forall n\in\mathbb N_{\ge 3}$$

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$$

El uso de este se puede expresar $a^n+b^n+c^n, \forall n\in\mathbb N$ en términos de polinomios simétricos ${\sigma}_{1}=a+b+c$, ${\sigma}_{2}=ab+bc+ca$ y ${\sigma}_{3}=abc$.

Answer 3

Llamar $\sigma_1=X$, $\sigma_2=Y$ y $\sigma_3=Z$ para mejorar la legibilidad, Newton identidades dar para la alimentación de las sumas $p_1$ $3$ variables: $$\begin{align} p_1&=X,\\ p_2&=Xp_1-2Y &&=X^2-2Y,\\ p_3&=Xp_2-Yp_1+3Z&&=X^3-3XY+3Z,\\ p_4&=Xp_3-Yp_2+Zp_1&&=X^4-4X^2Y+4XZ+2Y^2,\\ p_5&=Xp_4-Yp_3+Zp_2&&=X^5-5X^3Y+5X^2Z+5XY^2-5YZ,\\ p_6&=Xp_5-Yp_4+Zp_3&&=X^6-6X^4Y+6X^3Z+9X^2Y^2-12XYZ-2Y^3+3Z^2,\\ p_7&=Xp_6-Yp_5+Zp_4\\ &\qquad=\rlap{X^7-7X^5Y+7X^4Z+14X^3Y^2-21X^2YZ-7XY^3+7XZ^2+7Y^2Z}.\\ \end{align} $$ Ligeramente aburrido, pero realmente no es difícil de calcular. De hecho, creo que la computación es muy cercano a lo que sucede en la computación de los poderes $M^k$ para la matriz $M$ en la respuesta de Jack D'Aurizio. Tenga en cuenta que no sólo se necesita para el cálculo de la última columna de cada matriz, ya que cada columna de $M^k$ excepto el último que es copiado de la columna de un lugar más en $M^{k-1}$.

Answer 4

Sugerencia: Expandir $(a+b+c)^7=\sigma_1^7$ con Newton para encontrar los términos que usted necesita para restar para obtener $a^7+b^7+c^7.$ creo que no es demasiado alto de un poder para hacer eso, ya que su expansión ha $\frac{8\cdot9}{2}=36$ términos, podría decirse que no demasiadas, pero después de todo, uno puede también calcular $(a+b+c)^6$ por el cuadrado de $(a+b+c)^3$ y luego se multiplica por $a+b+c=\sigma_1$.

Por ejemplo, para la plaza, nos han $$\require\color(a+b+c)^2=\sigma_1^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \iff \ \color\red{a^2+b^2+c^2=\sigma_1^2-2\sigma_2}$$

y para el cubo $$\require\color (a+b+c)^3=\sigma_1^3=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3ac^2+3ba^2+3bc^2+3ca^2+3cb^2+6abc=\\ a^3+b^3+c^3+3\left(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\right)+6abc=\\ a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc+6abc \iff \\ \color\red{a^3+b^3+c^3 = \sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3}.$$

Answer 5

Deje $a,b,c$ ser las raíces de $p(x)=x^3-\sigma_1x^2+\sigma_2x-\sigma _3=0$ y deje $s_r=a^r+b^r+c^r$

A continuación, $0=a^rp(a)+b^rp(b)+c^rp(c)=s_{r+3}-\sigma_1s_{r+2}+\sigma_2s_{r+1}-\sigma_3s_r$ da una periodicidad de $s_r$.

Empezar con $s_0=3, s_1=\sigma_1, s_2=\sigma_1^2-2\sigma_2$

Usted necesita $abc\neq 0$ -, pero si una de las raíces es igual a cero se puede dividir por $x$ y hacer algo equivalente con el resultado de la ecuación cuadrática. El cero no añade nada a ninguna de las sumas.