¿Por qué es $ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ un número entero?

Question

Respuestas a límite de $\lim_{n\to ∞}\sin(\pi(2+\sqrt3)^n)$ empezar por decir que la $ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n $ es un número entero, pero ¿cómo puede uno ver lo que es verdadero?

Actualización: tenía la esperanza de que hay algo más que la fórmula binominal para casos como el de $ (a+\sqrt[m]{b})^n+(a-\sqrt[m]{b})^n $ a ser un número entero

Answer 1

Sugerencia: Deje $a=(2+\sqrt{3})^n$$b=(2-\sqrt{3})^n$. A continuación,$ab=(4-3)^n=1$. También se $a^{-1}=b$. Ahora a la conclusión de que $a+b=a+a^{-1}$ es integral.

Answer 2

Como una alternativa a aplicar el teorema del binomio (que es una buena manera), la secuencia dada por $$ a_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n \tag{1}$$ cumple $$ a_0=2,\qquad a_1=4,\qquad a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n \tag{2} $$ por lo tanto $a_n\in\mathbb{Z}$ es trivial por inducción.
En general, si $\eta,\xi$ son raíces de un monic de segundo grado del polinomio con coeficientes enteros, $$ \eta^{n+2}+\xi^{n+2} = (\eta+\xi)(\eta^{n+1}+\xi^{n+1})-(\eta\xi)(\eta^n+\xi^n) \tag{3}$$ prueba de la misma, ya que $(\eta+\xi)\in\mathbb{Z}$ $\eta\xi\in\mathbb{Z}$ son consecuencias de Viète fórmulas.

Answer 3

Considere la matriz

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

Claramente $ A^n $ es una matriz con el entero de las entradas, por lo tanto, la traza $ \operatorname{tr} A^n $ es un número entero. Por otro lado, $ A $ es diagonalizable la matriz cuyos valores propios son $ \lambda_1 = 2 + \sqrt{3} $, $ \lambda_2 = 2 - \sqrt{3} $; por lo tanto, los autovalores de a$ A^n $$ \lambda_1^n $$ \lambda_2^n $. Desde la traza de una matriz es la suma de sus valores propios, llegamos a la conclusión de que $ \operatorname{tr} A^n = \lambda_1^n + \lambda_2^n $, y la cantidad en el lado derecho es un número entero.

Answer 4

Deje $x \in \Bbb Q(\sqrt 3)$ ser su número. Desde $x$ es fijo por cualquier $\sigma \in \text{Gal}(\Bbb Q(\sqrt 3)/\Bbb Q)$, sabemos por la teoría de Galois que $x$ es racional. Como es un entero algebraico, es un número entero.

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Esto puede ser usado para mostrar que $$y=(3-2\cos(2\pi/7))^4+(3-2\cos(4\pi/7))^4+(3-2\cos(6\pi/7))^4$$ is also an integer ($y=682$).

(El polinomio mínimo de a$y$$\Bbb Q$$x^3+x^2-2 x-1$; el $3$ conjugados de $2\cos(2\pi/7)=\zeta_7+\overline{\zeta_7}=\zeta_7+\zeta_7^{-1},$ con $\zeta_7=e^{2\pi i /7}$, son de la forma $\zeta_7^k+\zeta_7^{-k}=2\cos(2k\pi/7)$).

Answer 5

Utilizar el teorema del binomio. $(-\sqrt{3})^{2k}=3^k$ y el extraño indexados en términos cancelar porque $(-\sqrt{3})^{2k+1}=-(\sqrt{3})^{2k+1}$