$G\times G\cong H\times H\Longrightarrow G\cong H$ $G$ ACC y DCC

Question

Quiero demostrar que, si $G$ satisface ACC y DCC normal subgrupos, a continuación, $G\times G\cong H\times H$ implica $G\cong H$.

He observado que si podemos probar que $G\times G$ satisface ACC y DCC la conclusión se siga por Krull-Schmidt. Así que he probado a ver si es verdad

Deje $\pi_1:G\times G\to G$ $\pi_2:G\times G\to G$ proyección en el primer y segundo sumando. Entonces cualquier $\{e\}\le N_1\le N_2\le\cdots$. A continuación,$\pi_1(N_k)$$\pi_2(N_k)$, tanto para estabilizar, pero no estoy seguro de si puedo concluir que $N_k$ también estabiliza.

1. Es lo que estoy tratando de probar en el segundo párrafo aun correcta?
2. Si no, ¿cómo puedo probar el teorema en el primer párrafo?

Answer 1

Es cierto que si $G$ satisface ACC y DCC, a continuación, $G \times G$ también:

Deje $N_1 \leq N_2 \leq \cdots$$G \times G$. A continuación, vamos a $K_i=\pi_1(N_i)$$L_i=(\{e\} \times G) \cap N_i$. Tanto para estabilizar decir, hay una $n\geq 1$ tal que para todos los $m \geq n$ tenemos $L_m=L_n$$K_m=K_n$. Queremos demostrar que para todos los $m \geq n$ también contamos $N_m=N_n$. Deje $x \in N_m$$\pi_1(x) \in K_m=K_n$. Por lo tanto, hay un $x' \in N_n$ tal que $\pi_1(x')=\pi_1(x)$, lo que implica $x'-x \in \ker(\pi_1)= \{e\} \times G$. Tenemos $x,x' \in N_m$$x'-x \in L_m=L_n$. Ahora $L_n \subseteq N_n$ $x' \in N_n$ implican $x \in N_n$.

De forma análoga, se puede proceder para DCC.