¿Cuándo una covarianza es `degenerada en alguna dirección`?

Question

Me encontré con la siguiente declaración

$cov(E(\mathbf{z}|y))$ es degenerado en todas las direcciones ortogonales a $Span(\mathbf{x}_1, ...,\mathbf{x}_K)$

Vector $\mathbf{z}$ es un vector aleatorio centrado de tamaño $p$ , $y$ es una variable aleatoria escalar y el $\mathbf{x}_k$ son $K$ vectores de tamaño $p$ .

¿Significa esto que cualquier vector ortogonal a $Span(\mathbf{x}_1, ...,\mathbf{x}_K)$ está en el núcleo de la matriz de covarianza de $E(\mathbf{z}|y)$ ?

¿Cómo lo interpreta usted?

Answer 1

Sí.

Esta figura muestra la situación para $p=2$ donde el lapso de $\{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_K\}$ es unidimensional, se muestra como una línea roja que pasa por el origen, y el espacio ortogonal -el núcleo de la matriz de covarianza- también es unidimensional, se muestra como una línea gris discontinua que pasa por el origen. Los datos se muestran como puntos en la línea roja.

Evidentemente, los datos no muestran ninguna variación en las direcciones paralelas al espacio ortogonal.

Cuando $\mathbf{z}|y$ es una variable aleatoria, se mantiene una imagen similar y la misma interpretación. Ahora, cualquier realización de $\mathbf{z}|y$ debe estar en la línea roja. No hay dos realizaciones que puedan diferir en ningún elemento no nulo del espacio ortogonal.

Answer 2

En este caso, la matriz de covarianza es singular, es decir, no tiene rango completo. Las direcciones asociadas a los valores propios nulos son degeneradas.