Una desigualdad de la teoría de la información que se relaciona con la entropía de Shannon

Question

Para $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n>0, \quad $ definir $a:= \sum a_i,\ b:= \sum b_i,\ s:= \sum \sqrt {a_ib_i}$ .

¿Es cierta la siguiente desigualdad? $${ \frac { \Bigl ( \prod a_i^{a_i} \Bigr )^ \frac1a }a \cdot \frac { \left ( \prod b_i^{b_i} \right )^ \frac1b }b \le\left ( \frac { \prod (a_ib_i)^{ \sqrt {a_ib_i}}}{s^{2s}} \right )^ \frac s{ab}}.$$ Si es cierto, ¿cómo puedo probarlo? Y si no es cierto, ¿hay un contraejemplo?

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Una formulación alternativa de esta desigualdad, como sugiere el cardenal es

$$ \sum_i x_i^2 \log x_i^2 + \sum_i y_i^2 \log y_i^2 \leq \rho ^2 \sum_i \frac {x_iy_i}{ \rho } \log \frac {x_iy_i}{ \rho } \; ,$$

en el que $x_i,y_i>0$ , $ \sum_i x_i^2 = \sum_i y_i^2 = 1$ y $ \sum_i x_i y_i = \rho $ . Se puede encontrar tomando el logaritmo de la expresión original y definiendo $x_i= \sqrt {a_i/a}$ y $y_i= \sqrt {b_i/b}$ .

Answer 1

Esto es un poco demasiado largo para ser un comentario, aunque no es una respuesta:

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Editar: Estoy haciendo algunas revisiones, pero todavía no he encontrado una prueba.

Mi comentario anterior no era del todo correcto. Reorganicé la desigualdad elevando ambos lados de la desigualdad a ciertas potencias, y no tuve en cuenta que no sabemos a priori si alguno de los términos son más grandes o más pequeños que $1$ . Dependiendo del tamaño de cada término (en particular, si es más pequeño o más grande que $1$ ), exponiendo ambos lados podría potencialmente revertir la desigualdad. He devuelto la pregunta a su forma original, tal y como lo sugirió la OP, y he añadido una observación más.

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Permítanme decir primero que he estado trabajando en esta cuestión durante un tiempo, y aunque todavía no lo he resuelto, ¡me he divertido intentándolo!

Ahora, para enfatizar la dependencia de $n$ Vamos a establecer

$$ \alpha_n = \sum_ {i=1}^n a_i \qquad \beta_n = \sum_ {i=1}^n b_i, \qquad \sigma_n = \sum_ {i=1}^n c_i, $$

donde $c_i = \sqrt {a_i b_i}$ . Además, pongamos

$$ A_n = \prod_ {i=1}^n (a_i)^{a_i}, \qquad B_n = \prod_ {i=1}^n (b_i)^{b_i}, \qquad S_n = \prod_ {i=1}^n (c_i)^{c_i}. $$

Nuestro objetivo es mostrar:

\begin {ecuación} (1) \hspace {1in} \left ( \frac {A_n}{( \alpha_n )^{ \alpha_n }} \right )^{ \frac {1}{ \alpha_n }} \cdot \left ( \frac {B_n}{( \beta_n )^{ \beta_n }} \right )^{ \frac {1}{ \beta_n }} \leq \left ( \frac {S_n}{( \sigma_n )^{ \sigma_n }} \right )^{ \frac {2 \sigma_n }{ \alpha_n \beta_n }} \end {ecuación}

Algunas observaciones de los peatones:

• Si $a_i = b_i$ para $i = 1, \dots , n$ (que obliga a $c_i = a_i = b_i$ ), entonces $A_n = B_n = S_n$ también tenemos $ \alpha_n = \beta_n = \sigma_n $ y (1) se sostiene en este caso.

• Tengan en cuenta que $2c_i \leq a_i + b_i$ como $2xy \leq x^2 + y^2$ para todos los números reales $x, y$ . Por lo tanto, $2 \sigma_n \leq \alpha_n + \beta_n $ . Además, Cauchy-Schwarz da $ \sigma_n ^2 \leq \alpha_n \beta_n $ . Ambas observaciones implican que $( \sigma_n + 1)^2 \leq ( \alpha_n + 1)( \beta_n + 1)$ .

Me imagino que con suficiente creatividad, uno puede encontrar una prueba de la desigualdad que implica la convexidad o una simple aplicación de la desigualdad AM-GM (¡que supongo que es más o menos lo mismo!).

No he podido probar la desigualdad ni siquiera en el caso $n = 2$ cuando asumo $ \alpha_n = \beta_n = 1$ . No tengo esperanzas de una prueba del caso general.

Answer 2

La desigualdad es cierta.

He publicado cardenal 's reformulación en Desbordamiento de Matemáticas ya que estaba muy interesado en ver el problema resuelto. Una solución completa fue proporcionada por fedja y puede ser se encuentra aquí . Usando la desigualdad $$ \sqrt { \frac {a_i b_i}{ab}} \leq \sum_ {i=1}^n \sqrt { \frac {a_i b_i}{ab}} \leq \sqrt { \frac {a_i b_i}{ab}}+ \sqrt { \frac {(a-a_i)(b- b_i)}{ab}},$$ que sigue de Cauchy-Schwarz, fedja fue capaz de considerar la desigualdad de entrada. Haciendo esto, el problema se redujo a mostrar

(desigualdad clave) Para $x,y,z>0$ y $xy=z^2$ Tenemos $$(1+x) \log (1+y)+(1+y) \log (1+x) \geq 2(1+z) \log (1+z).$$

Fedja dio una prueba de esta desigualdad en su respuesta y el usuario Babylon5 dio un prueba alternativa en AoPS .