Demostrar que $\sqrt{5}$ existe

Question

Demostrar que $\sqrt{5}$ existe; es decir, demostrar que existe un número positivo $x\in \mathbb R$ satisfaciendo $x^2=5$

Esto es lo que he hecho:

Dejo que $A= \{x>0:x^2\leq 5\}$

Sabemos que $A$ no está vacío porque claramente $2$ está en él: $2^2<5$ y también sabemos que $A$ está limitada por $3$ porque

$$x>3\implies x^2>9$$ así que por completo, $\sup A$ existe. Dejo que $ = \sup A$

Así que ahora estoy tratando de demostrar que $^2=5$ (que existe un número positivo $\in \mathbb R$ satisfaciendo $^2=5$ ) y para ello voy a intentar demostrar que $^2<5$ y $^2>5$ son imposibles.

Caso 1: $^2<5$ para hacer esto asumo que una prueba por contradicción funcionará.

Entonces, supongamos que $^2<5$ entonces...

Aquí es donde estoy un poco perdido, no sé cómo proceder con una prueba por contradicción aquí. Si alguien puede darme pistas o explicarme qué debo hacer a continuación, se lo agradecería mucho.

Answer 1

Si utilizamos su estrategia, tenemos que demostrar que no podemos tener $\alpha^2\lt 5$ y no podemos tener $\alpha^2\gt 5$ . Lo hacemos con una maquinaria mínima. Eso hace que el argumento sea mucho más largo que si hay alguna teoría ya desarrollada a la que apelar.

Supongamos que $\alpha^2\lt 5$ . Sea $\alpha^2+\delta=5$ para algún positivo $\delta$ . Tenga en cuenta que $\delta \le 1$ y $\alpha\ge 2$ . Entonces $$\left(\alpha +\frac{\delta}{4\alpha}\right)^2=\alpha^2+\frac{\delta}{2}+\frac{\delta^2}{16\alpha^2}=\alpha^2+\delta\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{64}\right)\lt 5.$$ De ello se desprende que $\alpha +\frac{\delta}{4\alpha}\in A$ , contradiciendo el hecho de que $\alpha$ es un límite superior para $A$ .

Supongamos ahora que $\alpha^2\gt 5$ . Sea $\alpha^2=5+\delta$ para algún positivo $\delta$ . Le dejamos a usted la tarea de encontrar un $x$ más pequeño que $\alpha$ tal que $x^2\gt 5$ , contradiciendo el hecho de que $\alpha$ es el menos límite superior de $A$ . Pista: Algo como lo que hicimos funcionará, excepto que debemos restar un pequeño número de $\alpha$ en lugar de añadir un número pequeño, como hicimos antes.

Answer 2

No creo que utilizando el teorema del valor intermedio vayamos a obtener una demostración válida. El teorema se basa en gran medida en la integridad de la línea real, aquí estamos demostrando tal integridad. Así que me temo que estamos produciendo un argumento circular. Para apoyar mi tesis, si se mira en el página de wikipedia del teorema verás un ejemplo contrario si el dominio no contiene un punto ( $\sqrt{2} $ en ese caso)

Como ha dicho, hay $2$ casos: SI $\alpha^2 <5$ entonces considera $k=\dfrac{5(\alpha+1)}{\alpha + 5}$ . tienes que $\alpha < k$ pero $k^2 <5$ .

SI $5 < \alpha^2$ entonces considera de nuevo $k$ . en este caso, $k < \alpha$ pero $5 < k^2$ y de nuevo un absurdo

Answer 3

Sugerencia
Demuestra que $f(x) := x^2-5$ es continua en $\mathbb R$ y utilizar el valor intermedio thm. en $(2, -1) \in {\rm graph}(f)$ y $(3,4) \in {\rm graph}(f)$