Solo quiero completar algunos detalles, algunas partes del proceso de llegar a la respuesta que seguramente Ted y Lubin conocían, al menos de forma subconsciente.
En primer lugar, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tiene número de clase $2$. Esto significa que no es un dominio de factorización única (como ya sabes), pero también que el "fracaso" de la factorización única no es tan "malo" como en dominios con números de clase más altos.
Así que si un número en este dominio tiene dos factorizaciones distintas, ambas factorizaciones tienen la misma cantidad de factores irreducibles.
Al buscar las normas de los números que podrían satisfacer los requisitos deseados, podemos eliminar las normas con un número impar de factores en $\mathbb{Z}$ (adiós a los primos). Podemos reducir aún más la lista de normas potenciales al limitarlas a normas que corresponden a enteros reales (como $6$) que tienen más de una factorización en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.
Y luego reducimos aún más al observar esas normas que pueden expresarse como un producto de normas más pequeñas correspondientes a enteros reales que tienen más de una factorización en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Los primeros números primitivos de este tipo son $6, 9, 14, 21$. Luego, dado que $126 = 6 \times 21 = 9 \times 14$, simplemente encontramos los números complejos con esas normas y vemos si podemos obtener sus productos para obtener un número con los requisitos especificados: $$(1 + \sqrt{-5})(4 + \sqrt{-5}) = (-2 + \sqrt{-5})(3 - \sqrt{-5}) = -1 + 5 \sqrt{-5}.$$
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¿Cómo podrías haber encontrado las dos factorizaciones distintas de $6$? Podrías haber utilizado la noción de la norma, $N(a+b\sqrt{-5}) = a^2+5b^2$, y haber preguntado por diferentes formas de factorizar $N(6)$.
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Sí, eso y el hecho de que $6$ es el ejemplo clásico. He probado números con norma menor que $96$, y a menos que haya cometido errores en mis cálculos, ninguno de ellos cumple los requisitos.