Puede que el número natural tiene un innumerable conjunto de subconjuntos?

Question

Deje $\mathbb{N}$ ser el conjunto de los números naturales. Deje $X_{i},i\in I$ ser un incontable secuencia de subconjuntos tales que $$ \bigcup_{i\in I}X_{i}=\mathbb{N} $$ y $$ \bigcup_{i\J}X_{i}\subsetneq \mathbb{N}, \forall J\subconjunto I, |J|=\aleph_{0} $$ donde la inclusión es estricta.

Mis preguntas son:

1) ¿Es esto posible? (a la luz de la respuesta, lo quiero en ausencia de CA)

2) lo "malo" es que esto si es posible? Puede incluso hemos peor de los ejemplos de este tipo?

3) Para la generalización, si $|X|$ tiene ciertas cardinalidad $\gamma$. Es posible para nosotros para construir una secuencia de subconjuntos de cardinalidad $\alpha>\gamma$ y satisface las dos condiciones similares?

Answer 1

Mediante la Elección libremente, para cada número natural $n$ tomamos un $i_n$ tal que $n\in X_{i_n}$. Entonces el conjunto de índices elegido tiene cardinalidad $\le \aleph_0$, y la unión de la $X_{i_n}$$\mathbb{N}$. Así, al menos en la presencia de Elección, la respuesta de "es posible" es no.

Answer 2

Considere el caso donde $S=\bigcup_{n\in\Bbb N}P_n$ y cada una de las $P_n$ es finito, sino $S$ no tiene un countably subconjunto infinito. En particular, $\prod P_n=\varnothing$ (este es el típico caso cuando le damos los "calcetines y zapatos" ejemplo).

Desde $S$ es infinito, pero no contables, es incontable. Para cada $s\in S$ considera $X_s=\{n\mid s\in P_n\}$. En este caso, claramente,$\bigcup_{s\in S} X_s=\Bbb N$, pero no es $J\subseteq S$ tal que $|J|=\aleph_0$ a empezar. Y si debilitamos que esto exige $|J|\leq\aleph_0$, entonces todavía no cubren todo, porque $J\subseteq S$ $|J|\leq\aleph_0$ implica que el $J$ es finito.

Pero podemos hacer un poco mejor. Considere la posibilidad de tales $S'=S\cup\Bbb N$ y partición de a pares, $P'_k$ tal forma que: $$P'_k=\begin{cases}P_n & k=2n\\\{k,k-1\} & k=2n+1\end{cases}$$

A continuación, $S'$ tiene un countably subconjunto infinito, pero el producto está aún vacía. En ese caso podemos encontrar $J$ no vacuously, pero siempre y cuando el producto de estos pares es vacío, no podemos tener bien ordenado subcolección de $X_s$ abarque la totalidad de los números naturales.

Muy bien, así que puede tener esta situación contable subcovers siendo insuficiente, lo que sobre el bien ordenado subcovers?

Si usted considera Andre respuesta, verás que si un [sub]cubierta es bien disponible, a continuación, podemos hacer el mismo truco. En particular, si se considera una incontable ordinal, entonces la unión de que subcover ya fue alcanzado por una contables subconjunto.

Esto no significa que no se puede hacer esto en una forma casi trivial manera. Considere la posibilidad de $S$ como antes, o de hecho cualquier ejemplo del fracaso en $|J|=\aleph_0$, y deje $S'=S\cup\Bbb R$ ahora partición $\Bbb N$ aún y probabilidades. La indexación con $S$ presenciando el fracaso cubrirán exactamente los números enteros, y $\Bbb R$ índice de todos los subconjuntos de los números enteros impares.

Todavía tenemos que cada contables subcover sólo cubre un subconjunto de a $\Bbb N$. Incluso si $\Bbb R$ es bien disponible, y tan grande como usted quiere que sea. Pero esto sucede trivialmente, en el sentido de que cada innumerables bien solicitar la tapa tiene una contables subcover que cubre el mismo conjunto.

Answer 3

Es compatible con $ZFC$ que no existe un modelo de $ZF$ con una infinita Dedekind-conjunto finito.

Deje $X$ ser un conjunto. Deje $X_i = \omega$ todos los $i \in X$.

$X$ es infinito Dedekind-finito, es incontable. Claramente $\bigcup_{i \in X} X_i = \omega$. Desde $X$ es infinito Dedeind-finito, $X$ no tiene contables subconjuntos, por lo tanto para todos los $J \subseteq X$ tal que $|J| = \aleph_0$, $\bigcup_{i \in J} X_i \subsetneq \omega$.

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Si usted debilitar $|J| = \aleph_0$$|J| \leq \aleph_0$, todavía hay una secuencia (aunque no en el ejemplo de arriba).

Deje $X$ ser un infinito Dedekind-conjunto finito. Como bof mencionado, vamos a $S$ el conjunto de secuencias finitas de $X$ con todos los términos distintos. $S$ es todavía un infinito Dedekind-conjunto finito. La cardinalidad de la función denotada $f$ es un surjection $f : S \rightarrow \omega$. Deje $X_s = \{f(s)\}$. Esta secuencia de trabajo.