Probar que un grupo de orden de 12 años deben tener un elemento de orden 2

Question

Pregunta: Probar que un grupo de orden de 12 años deben tener un elemento de orden 2.

Creo que he hecho un gran paso en mi intento.

Por el corolario del teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento $g$ en un grupo de $G$ divide el orden de un grupo de $G$.

Por eso, $ \left | g \right | \mid \left | G \right |$. Por lo tanto, los posibles órdenes de $g$ $\left | g \right |=\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}$

Supongamos $\left | g \right |=12.$ A continuación, $g^{12}=\left ( g^{6} \right )^{2}=e.$ Por eso, $\left | g^{6} \right |=2$

Con la misma idea y aplicarla a $\left | g \right |=\left \{ 6,4,2 \right \}$ $\left | g \right |=1,$ vemos que estos elementos de g tiene orden 2.

Sin embargo, para $\left | g^{3} \right |$, el grupo de $G$ no requiere un elemento de orden 2.

¿Cómo puedo tomar este intento?

Gracias de antemano. Útiles consejos sería de gran ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Aquí es una prueba simple idea de que todo grupo de orden debe tener un elemento de orden $2$.

Par cada elemento en $G \backslash \{ e \}$ con su inversa. Si todos los pares constan de dos elementos diferentes, a continuación, $G \backslash \{ e \}$ tendría un número par de elementos.

¿Qué significa que $a=a^{-1}$?

$a=a^{-1} \Leftrightarrow a^2=e$. Y desde $a \neq e$ tenemos que $ord(a)=2$.

Answer 2

Enfoque sin Sylow del teorema: Por lo que he mostrado, todo lo que necesitas hacer es descartar la posibilidad de que todos los elementos del grupo tiene orden de $3$ o $1$. El único elemento con el fin de $1$ es la identidad. ¿Qué se puede decir acerca de un grupo que consiste de la identidad, y $11$ elementos de orden $3$?

Sugerencia: los elementos de orden $3$ se puede dividir en pares $\{g,h\}$ s.t. $h=g^2,g=h^2$.

Answer 3

Sugerencia:
Considerar la Sylow $2$-subgrupos de $G,$ que tienen el fin de $4.$

Espero que esto ayude.