Subobjetos y el cociente de los objetos en la categoría de espacios topológicos

Question

Son las siguientes definiciones son equivalentes?

Una incrustación de espacios topológicos es sólo un monic en la parte Superior, es decir, es una continua $e: A \rightarrow X$ s.t. para cualquier espacio de $Z$ la función de $f \mapsto e \circ f:$ Superior $\left(Z,A\right)\rightarrow$ Superior $\left(Z,X\right)$ es inyectiva decir $e_\circ f_1=e\circ f_2 \implies f_1 =f_2$.

y

$e:A \rightarrow X$ es una incrustación iff

• $U\left(e\right):U\left(A\right)\rightarrow U\left(X\right)$ es inyectiva en Conjunto, donde $U$ es el subalterno conjunto functor.
• para cualquier $Z \in$ Superior de un mapa del juego $U\left(f\right):U\left(Z\right) \rightarrow U\left(A\right)$, $f$ se continúa iff $e \circ f : Z \rightarrow X$ es continua.

Es el análogo definiciones para la épica y el cociente espacio también son equivalentes? Muchas gracias.

Answer 1

Deje que la parte Superior sea la categoría de los espacios topológicos (y continua de los mapas) y Haus ser la subcategoría de Hausdorff espacios topológicos.

• monomorphisms en la parte Superior y Haus son precisamente inyectiva continua de los mapas;
• epimorphisms en la parte Superior son precisamente surjective continua de los mapas;
• epimorphisms en Haus son precisamente densa continua mapas (es decir, los mapas de $f\colon X\to Y$ tal que $\overline{f[X]}=Y$); ver a esta pregunta.

Tenga en cuenta que no todos los monomorphism es una incrustación. No todos los epimorphisms es un cociente de mapa.

La segunda descripción dice que $A$ tiene la topología inicial w.r.t. para el mapa de $e$. Esto es lo mismo que decir que $e$ es una incrustación. Del mismo modo, la topología final corresponde a un cociente de mapa.

También puede ser útil mencionar que en la parte Superior de la extremal monomophisms y regular monomorphisms coinciden con incrustaciones. En Haus tenemos cerrado incrustaciones. Regular y extremal epimorphisms son cociente de mapas tanto en la parte Superior y Haus.

Answer 2

La primera definición de la realidad que caracteriza inyectiva continua de los mapas, pero la segunda definición de hecho se caracterizan topológico de incrustaciones. Más generalmente, hay una noción de la topología inicial y final de la topología para una familia de mapas, y una incrustación es precisamente un inyectiva mapa que induce la topología inicial en su dominio, y un cociente es precisamente un surjective mapa que induce la topología final de su codominio. El universal propiedad que usted ha escrito es una traducción de lo que en el lenguaje de la categoría de teoría.

Answer 3

También existe la idea de un extremal monic en una categoría. Este es un monic $m$ tal que para cada factorización $m=f\circ e$ donde $e$ es una epopeya, $e$ también es un isomorfismo.

El uso de esta noción, se puede caracterizar la topológico incrustaciones categóricamente: Ellos son sólo el extremal monics en la parte Superior.

Doblemente, una extremal de epic es un extremal monic en el frente de la categoría. Específicamente, es una épica $e$ de manera tal que cada monic $m$ en la factorización $e=m\circ f$ es un isomorfismo.

El extremal épico en la parte Superior son precisamente el cociente de los mapas.