¿Qué es tan especial acerca de los 4 fundamentales subespacios?

Question

Estaba leyendo Gilbert Strang libro de Álgebra Lineal (junto con sus conferencias) y siento que él es de destacar que el 4 subespacios fundamentales (Columna Espacio Fila de Espacio, el Espacio Nulo y en el Espacio Nulo de a $A^T$) forman el "quid" o "corazón" de Álgebra Lineal y que la comprensión de la misma es crucial para el estudio adicional.

Pero lo que no entiendo es ¿por QUÉ? Por qué son tan importantes?

Yo entiendo que :

• Columna de Espacio y el Espacio Nulo son ortogonales. (Lo mismo para los otros dos)
• Sus dimensiones son gobernados por el rango de la matriz.

pero más allá de eso no he encontrado nada de lo que he encontrado profunda e interesante. Me estoy perdiendo algo o es el Prof. Strang sobre la calificación del 4 subespacios fundamentales?

Answer 1

El núcleo de estudio de matrices es el estudio de las transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Esto puede ser realizado como la multiplicación de la matriz de la izquierda (o derecha) de la columna (o fila) de los vectores.

Si estamos en esta configuración: $x\mapsto Ax$ para un vector de columna $x$ y la correspondiente matriz de $A$, entonces la imagen de la transformación lineal será generado por las columnas de a $A$.

El núcleo de la transformación (nullspace) es el conjunto de todos los $x$ tal que $Ax=0$ es importante para la comprensión de las soluciones de algunas ecuaciones de matrices. Usted probablemente ya ha aprendido que si $x_0$ es una solución a $Ax=b$, entonces cada otra solución es dada por $x_0+k$ donde $k$ es en el nullspace.

Todo esto tiene explicación análoga en el otro lado. Si estamos en esta configuración: $x\mapsto xA$ para un vector de fila $x$, entonces la imagen de la transformación lineal es ahora atravesado por las filas de $A$.

Hablando de la nullspace de $A^T$ es sólo una forma elegante de vestir de la "izquierda nullspace" de $A$, ya que el $xA=0$ fib $A^T x^T=0$. El nullspace es ahora el conjunto de todos los $x$ tal que $xA=0$, y se pueden extraer las mismas conclusiones acerca de las soluciones a $xA=b$.

En breve, estos cuatro espacios (en realidad sólo dos espacios, con una izquierda y una derecha a la versión de la pareja) llevar toda la información acerca de la imagen y el núcleo de la transformación lineal que $A$ está afectando, si usted lo está utilizando en la derecha o en la izquierda.