Sustitución simple en u - Resultado paradójico

Question

Si tratara de tomar $$\int{\mathrm{sin}(t)\mathrm{cos}(t)dt} $$ Yo tomaría $u=\mathrm{sin}(t) $ , obteniendo un resultado de $\frac{1}{2} \mathrm{sin}^2(t) + C$ , o tomaría $u=\mathrm{cos}(t) $ , obteniendo un resultado de $-\frac{1}{2} \mathrm{cos}^2(t)+ C$ .

Estos dos resultados son no equivalente. ¿Qué acaba de pasar?

Answer 1

Las respuestas no son igual pero son equivalentes. Recuerda, como dijo Artem, que las dos respuestas difieren en una constante. Y las antiderivadas se definen siempre hasta una constante.

Answer 2

Si se evalúa la integral definida de $$ \int_{a}^{b} \sin(t)\cos(t) dt$$ entonces lo tienes: $$\frac{1}{2}\left(\sin^2(b)-\sin^2(a)\right)=\frac{1}{2}\left(1-\cos^2(b)-1+\cos^2(a)\right)$$ $$=-\frac{1}{2}\left(\cos^2(b)-\cos^2(a)\right).$$ Por lo tanto, aunque la integral indefinida pueda parecer fuera de lugar, la integral definida tiene los mismos valores.