Lo que caracteriza a las funciones racionales con número entero no negativo coeficientes de Taylor?

Question

Creo que hay una declaración que a lo largo de las siguientes líneas (me gustaría, por supuesto, el amor para ser corregido): un poder formal de la serie es la expansión de Taylor de una función racional si y sólo si los coeficientes eventualmente satisfacer a una relación lineal.

Supongamos que entiendo lo que "satisfacen una relación lineal" significa, porque no es la parte que realmente quería preguntar acerca de (a pesar de las aclaraciones son muy bienvenidos!). Lo que me gustaría saber es cuáles son las condiciones de una función racional son equivalentes para todos los coeficientes de Taylor ser números enteros no negativos. Por ejemplo, me he enterado de que $1/(1-kx) = \sum (kx)^n$, por lo que cualquier suma o el producto de funciones tales obras. En particular, puedo intentar jugar con parcial de la fracción de descomposición a ver si puedo escribir una determinada función racional de esta manera. Pero no tengo idea de si esto es todo de ellos.

Dicho de otra manera, hay un mapa de $\mathbb R(x) \to \mathbb R[x^{-1},x]]$ (funciones racionales de Laurent de la serie). Me gustaría entender el inverso de la imagen de $\mathbb N[x^{-1},x]]$.

(Oh, también, no tengo idea de cómo etiquetar este, y creo que el "general de las matemáticas" es, probablemente, un inadecuado de la etiqueta para el MO. Así que por favor volver a etiquetar como mejor le parezca.)

Answer 1

Es al parecer "se desconoce si el problema "$a_n > 0$ todos los $n$?" es decidable de recurrencia lineal de las secuencias", según estas notas por Stefan Gerhold.

Answer 2

Este papel (?) de Gessel podría ayudar, aunque es sobre todo acerca de la combinatoria. Hay dos maneras naturales para escribir funciones racionales con entero no negativo de los coeficientes en la combinatoria, que viene de transferencia de matrices / autómatas finitos y que viene de regular idiomas. Los dos dan la misma clase de funciones racionales, pero existen funciones racionales con entero no negativo de los coeficientes que seguramente no surgen de esta manera, por lo que la situación parece complicada.

Tu pregunta parece indicar que usted no está familiarizado con esta clase de funciones racionales, así que aquí hay dos definiciones equivalentes: es, por un lado, la clase de todos los no-negativa de combinaciones lineales de las entradas de las matrices de la forma $(\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}$ donde $\mathbf{A}$ es una matriz cuadrada con entradas en $x \mathbb{N}[x]$, y por otro lado, el mínimo de la clase de funciones racionales que contengan $1, x$, y cerrado bajo la suma, la multiplicación, y la operación $f \mapsto \frac{1}{1 - xf}$.

Edit: la razón no hay, no puede ser una particular clasificación de niza, es que uno puede empezar con cualquier función racional con coeficientes enteros y agregar un polinomio y un término de la forma $\frac{1}{1 - kx}$ $k$ tal que $\frac{1}{k}$ es más pequeño que el más pequeño de los polos.

Answer 3

Por relación lineal, lo que significa un lineal de la recurrencia de la relación. Hacerlo por escrito P(z)/Q(z) = suma(a_n * x^n), se multiplica por P(z) en ambos lados, reagrupar términos. Obtendrás algo como 0 = suma((c_1 * a_(n+k) + c_2 * a_(n+k-1) + ... + c_k * a_n)*x^n) de modo que los coeficientes de hecho de satisfacer una recurrencia lineal.

Por otra parte, creo que una función, con radio de convergencia 1, y el número entero positivo de los coeficientes, tiene que ser una función racional (en cuyo caso los coeficientes de satisfacer lineal de la recurrencia de la relación) o que tiene un límite natural en el círculo |z| = 1 (en el que caso de que la función podría ser enseñado fuera ya bastante complicado).

Así que al final, tu pregunta es una pregunta acerca de recurrencias lineales de las relaciones, en lugar de hablar de funciones racionales. Creo que Narkiewicz hizo algunos trabajos en el campo, pero no tengo ninguna referencia en la parte superior de mi cabeza.

P. S: lo Siento por no Látex-ing, tengo un poco corto de tiempo.