Si $z$ es un número entero, la suma de la serie $$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+z}\right)$$ is easy since it is a telescoping series. But if $z$ is a fraction, say $z=3/2$, I don't see why the series sums to $$\frac{8}{3}-\ln 4$$ Existe una formula para $z=m/n$ donde $m,n$ son enteros positivos y $n\neq 1$?
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user21783
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Para completar Marvis' (y ahora Mhenni) respuesta vamos a notar que su serie es, hasta el de Euler $\gamma$ constante ($0.577215\cdots$), la digamma $\psi$ función es decir, $$\psi(z+1)+\gamma=\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+z}\right)$$
La fórmula para cualquier fracción es bien conocido demasiado y el nombre de Gauss, digamma teorema: $$\psi\left(\frac mk\right)=-\gamma-\ln(2k)-\frac{\pi}2\cot\left(\frac{m\pi}k\right)+2\sum_{n=1}^{\lfloor(k-1)/2\rfloor}\cos\left(\frac{2\pi nm}k\right)\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}k\right)\right)$$
Mhenni Benghorbal
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Recordando la identidad de la $\psi$ función
$$ \psi(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right)\qquad z\neq0,-1,-2,-3,\ldots, $$
la serie puede ser fácilmente expresada en términos de la $\psi$ función
$$ \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+z}\right)= \psi(z+1)+\gamma. $$
Tenga en cuenta que, para $z=\frac{m}{n},\, m,n\in \mathbb{N}$, usted no tendrá un problema, ya que las singularidades de la $\psi$ función en $z=0,-1,-2,\dots.$
