Famosos Problemas en los que Sólo Sabemos que la Primaria

Question

Definir un grafo con vértices conjunto $\mathbb{R}^2$ y conecta dos vértices si son de la unidad de distancia de distancia. El famoso Hadwiger-Nelson problema es determinar la cromática número $\chi$ de este gráfico. Para el problema señalado (hay muchas variantes), el más conocido de los límites son de $4 \leq \chi \leq 7$. El límite inferior viene de la existencia de un ingenioso subgrafo en sólo siete vértices que es fácil de ver para exigir a cuatro colores. El límite superior viene de un sencillo mosaico del avión por monocromática hexágonos que admite una adecuada $7$para colorear.

Me gusta mostrar este problema a los jóvenes estudiantes, ya que ellos siempre están fascinados por el hecho de que podemos cubrir "todo" lo que se sabe acerca de ella en tan sólo un par de minutos. ¿Cuáles son algunos otros problemas de este tipo?

¿Cuáles son algunos de los famosos problemas para los cuales los más conocidos los resultados son bastante obvios o primaria?

Answer 1

Los cuatro primeros perfecto números han sido conocidos por al menos 2300 años. Aquí está su primer factorizations:

$$\begin{align} 6 & = 2^{\hphantom{2}}\cdot 3 \\ 28 & = 2^2\cdot 7 \\ 496 & = 2^4\cdot 31 \\ 8128 & = 2^6\cdot 127 \end{align} $$

Cualquier cabeza de chorlito, mirando a estos, o tal vez incluso sólo mirar a las dos primeras, podría hacer que el obvio conjetura de que todos ellos son de la forma $2^{p−1}(2^p−1)$ primer $2^p−1$.

Es fácil demostrar que todos los números de ese tipo son perfectos. Es de todos conocido perfecto números son de ese tipo. Euler demostró que todos , incluso perfecto números son de ese tipo. Pero...

Answer 2

Es de $\pi$ un número normal?

Todo lo que sabemos es que los números racionales no son normales, y que $\pi$ es irracional.

Usted puede reemplazar $\pi$ por muchas otras constantes, y no sabemos mucho acerca de cualquiera de ellos.

Answer 3

Deje de $S$ ser un conjunto de números enteros, cada uno mayor que 1, y $m(S)$ ser el mayor entero positivo que es que no se pueden expresar como una suma de elementos de $S$, si es que existe. (Elementos de $S$ puede ser utilizado más de una vez, por supuesto, de modo que $7 = 2+2+3$ se considera una suma de 2 y 3). Un ejemplo bien conocido es de $m(\{6, 9 ,20\}) = 43$.

J. J. Sylvester mostró (1884) que $m(S)$ existe si y sólo si $\gcd(S) = 1$, y también que $m(\{s_1, s_2\})$, cuando existe, es igual a $$s_1s_2 - s_1 - s_2.$$ Ambos de estos podría ser, ciertamente, conjeturó, y probablemente resultó ser, en una hora por un brillante estudiante de secundaria.

Pero para $|S| > 2$ el problema es muy abierta.

Answer 4

He aquí una pequeña cancioncilla de la Teoría de la Complejidad.

Los siguientes hechos son bastante fácil de probar:

1. $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P} \subseteq \mathsf{PN} \subseteq \mathsf{PSPACE} \subseteq \mathsf{EXPTIME} \subseteq \mathsf{EXPSPACE}$;
2. $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$;
3. $\mathsf{PSPACE} \neq \mathsf{EXPSPACE}$.

Por (2) se sigue inmediatamente de que al menos una de las cuatro primeras inclusiones en (1) es correcta, y, del mismo modo, por (3) al menos uno de los dos últimos inclusiones en (1) es correcta. Sin embargo, es completamente desconocido que las inclusiones en (1) correcto (aunque se sospecha fuertemente que cada uno es). (Tenga en cuenta que este subsume el famoso $\mathsf{P} \desbordado{\mathord{?}}{=} \mathsf{PN}$ problema).

Answer 5

Esto no es "famoso", pero es largo de interés para mí:

¿Qué es el Teorema de Pitágoras para la esquina derecha simplices en hiperbólico $d$-espacio?

• Por $d=2$, tenemos ... $$\cosh un \cosh b = \cosh c$$ para un triángulo rectángulo con catetos de longitud $a$, $b$, y la hipotenusa de longitud $c$.
• Por $d=3$, tenemos ... $$\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} - \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{D}{2}$$ para un tetraedro con el lado derecho del triangular de la pierna-caras de área $A$, $B$, $C$, y la hipotenusa cara de área $D$.
• Por $d\geq 4$, tenemos ... $$\text{ni Idea. (A lo que yo sé.)}$$

Tres(!) años atrás, he publicado algunos pensamientos acerca de la $d=4$ caso a MathOverflow. (La serie de cosas que probablemente esté mal guiados.) He hecho ningún progreso desde entonces.