Demostrar que $x^2 + y^2$ y $x^2 - y^2$ no pueden ser ambos cuadrados perfectos al mismo tiempo donde $x, y \in \mathbb{Z}^+$ .
Creo que $x^2 + 2xy + y^2$ y $x^2 + y^2$ no son cuadrados consecutivos ya que la diferencia es par. Creo que tiene alguna relación con otros cuadrados como $(x+y)^2$ y $(x-y)^2$ .
¿Cómo debo proceder? Me gustaría recibir algunos consejos.
Supongamos que $x^2+y^2=a^2$ y $x^2-y^2=b^2$ y multiplicándolas se obtiene $x^4-y^4=(ab)^2$ . Esta última ecuación no tiene solución no trivial; véase, por ejemplo Resolver $x^4-y^4=z^2$ .
Esto demuestra un resultado más fuerte: que $x^2+y^2$ y $x^2-y^2$ no pueden tener su producto igual a un cuadrado (excepto en casos triviales).
Una pista:
Si $ x^2+y^2=c^2$ es un El triple pitagórico que hay dos enteros $m,n$ tal que: $$ x=m^2-n^2 \qquad y=2mn \qquad c=m^2+n^2 $$
Así que..: $$ x^2-y^2=(m^2-n^2)^2-4m^2n^2=m^4+n^4-6 m^2n^2 $$
Proporcionado $x$ y $y$ son coprimos, pero esto no es una restricción esencial. También debe justificar por qué $x$ es impar y $y$ es par (tras la reducción a un triple pitagórico primitivo).
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Estoy seguro de que había una pregunta en MSE que $a+b $ y $a+2b$ no pueden ser cuadrados al mismo tiempo.
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¿qué es el cuadrado perfecto?
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@sixulm Cuadrados de enteros.
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@N.S.JOHN Ya veo, entonces es simplemente cuadrado.
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Creo que significa x y y son ambos enteros no nulos.
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@McCheng Por supuesto.
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Creo que esta demostración puede ser modificada para el Último Teorema de Fermat donde $n=4$ . Esta pregunta en sí misma puede ser una forma diferente de pedir una prueba de la FLT donde $n=4$ . Sin duda mi hoja de problemas dice que esta pregunta fue hecha por Fermat.