¿Las clases propias también pueden tener cardinalidad?

Question

En algunas teorías de conjuntos como ZF+ GAC en el que GAC es el axioma global de elección, el universo Von Neumann $V$ bijects to $Ord$ la clase de los ordinales. Nos sugiere que las clases propias también pueden tener cardinalidaden el ejemplo es $|V|=|Ord|$ . Además, si estamos en ZF+GAC+ ALS Parece que $|V|$ es la única cardinalidad que no es un número cardinal. Además, parece que algunas propiedades como el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder también son válidas para la cardinalidad de las clases propias, pero no estoy seguro de que estén bien definidas y no causen ninguna paradoja...

Answer 1

Dos establece $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad si y sólo si existe una función biyectiva $f : A \to B$ . Si identificamos la función $f$ con su gráfico $F = \{ \langle x, y \rangle \in A \times B\, :\, f(x)=y \}$ entonces podemos reformular esto para decir que $|A|=|B|$ si y sólo si existe un conjunto $F$ tal que

• $\forall x \forall y \forall y' (\langle x,y \rangle \in F \wedge \langle x, y' \rangle \in F \to y=y')$
• $\forall x \forall y (\langle x,y \rangle \in F \to x \in A \wedge y \in B)$
• $\forall x (x \in A \to \exists! y(\langle x,y \rangle \in F))$
• $\forall y (y \in B \to \exists! x(\langle x,y \rangle \in F))$

Los dos primeros le dicen que $f$ es una función bien definida $A \to B$ (o, más bien, que $F$ es la gráfica de una función bien definida $A \to B$ ), la tercera te da inyectividad y la cuarta te da subjetividad.

Si $A = \{ x:\phi \}$ y $B = \{ y:\psi \}$ son clases, donde $\phi,\psi$ son predicados unarios, entonces $x \in A$ en realidad sólo significa $\phi(x)$ y $y \in B$ en realidad sólo significa $\psi(y)$ . Así que supongo que se podrían traducir las definiciones anteriores para referirse a clases en lugar de conjuntos. Más exactamente, digamos $|A|=|B|$ si y sólo si existe un predicado binario $F$ tal que

• $\forall x \forall y \forall y' (F(x,y) \wedge F(x,y') \to y=y')$
• $\forall x \forall y (F(x,y) \to \phi(x) \wedge \psi(y))$
• $\forall x (\phi(x) \to \exists! y F(x,y))$
• $\forall y (\psi(y) \to \exists! x F(x,y))$

Obsérvese que esta noción de clases "que tienen la misma cardinalidad" coincide con la de conjuntos cuando nos restringimos al caso en que $A$ y $B$ realmente son conjuntos. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre con los conjuntos, esto se formula cuantificando sobre fórmulas, por lo que tenemos que trabajar en la metateoría.

También hay que tener en cuenta que esta es una definición de "tener la misma cardinalidad", no una definición de "cardinalidad"; encontrar una buena noción para esta última podría ser bastante difícil.

Descargo de responsabilidad: Existe la posibilidad de que me digan que esto es una chorrada. Y de hecho puede serlo, ZFC hace cosas raras con las clases. Pero parece una de las posibles extensiones "naturales" de la noción de biyección de conjuntos a clases arbitrarias.

Answer 2

No hay absolutamente ningún problema en extender la definición de un cardinal a las clases, excepto que no podemos argumentar en el universo sobre los cardenales de las clases como lo hacemos para los conjuntos. Cada argumento de la forma "Todas las clases tales que ..." sería un meta-argumento. Por supuesto, se puede utilizar una teoría de conjuntos más fuerte que permita las clases, pero esa es una historia ligeramente diferente.

Además del punto anterior, no es muy difícil demostrar el teorema de Cantor-Bernstein para las clases (es decir, la existencia de dos inyecciones implica la existencia de una biyección). Y así podemos preguntar realmente si existe o no una función de clase con tales o cuales propiedades (inyectiva, biyectiva, etc.)

Es importante notar que al igual que al eliminar el axioma de elección es posible que haya suryectos que no puedan ser invertidos, sin elección global es posible tener clases-suryectos que no tengan una inyección inversa. Así que es importante atenerse a la definición por inyecciones, porque esa definición funciona sin ningún uso de la elección.