Debe $n$ procesos Wiener independientes sean simultáneamente positivos en algún momento?

Question

Considere $n$ procesos Wiener unidimensionales independientes $(W_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ .

¿Existe con probabilidad $1$ algún tiempo $t\in[0,1]$ tal que $W_i(t)>0$ por cada $1\leqslant i\leqslant n$ ?

Para $n=1$ esto es obvio, pero no veo cómo mostrar esto para $n\geqslant2$ .

Answer 1

¿Existe con probabilidad $1$ algún tiempo $t\in[0,1]$ tal que $W_i(t)>0$ por cada $1\leqslant i\leqslant n$ ?

Sí, para cada $n$ . Aquí hay una prueba.

La distribución de cada $W_i$ es invariante por la transformación $t\mapsto tW_i(1/t)$ por lo que la probabilidad a calcular es también la probabilidad de que exista algún $t\gt1$ tal que $W_i(t)\gt0$ simultáneamente para cada ${1\leqslant i\leqslant n}$ . Ahora definimos iterativamente una secuencia creciente de tiempos aleatorios como sigue.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que, para cualquier movimiento browniano $W$ , $P(W(t)\gt0\mid W(0)=-1)\to\frac12$ cuando $t\to\infty$ por lo que existe algún tipo de determinista y finito $\theta$ tal que $P(W(\theta)\gt0\mid W(0)=-1)\geqslant\frac13$ . Entonces, por escalamiento, para cada $x$ , $$ P(W(x^2\theta)\gt0\mid W(0)=x)\geqslant\tfrac13. $$ Dejemos que $T_0=1$ . Para cada $k\geqslant0$ , sabiendo que $T_k$ , dejemos que $$ T_{k+1}=T_k+\theta\cdot\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}W_i(T_k)^2. $$ Entonces, casi seguramente, por cada ${1\leqslant i\leqslant n}$ , $$ P(W_i(T_{k+1})\gt0\mid \mathcal F^{W_i}_{T_k})\geqslant\tfrac13. $$ Dado que los movimientos brownianos $W_i$ son independientes, esto implica que $P[A_{k+1}\mid\mathcal G_k]\geqslant3^{-n}$ , donde $$ A_k=[\forall 1\leqslant i\leqslant n,\,W_i(T_{k})\gt0],\qquad\mathcal G_k=\sigma(A_\ell;\,\ell\leqslant k). $$ En particular, $P[A_{k+1}^c\mid A_1^c\cap\cdots\cap A_k^c]\leqslant1-3^{-n}$ por lo que la probabilidad de que ningún evento $A_\ell$ con $\ell\leqslant k$ es como máximo $(1-3^{-n})^k$ que pasa a cero cuando $k\to\infty$ . Por el contrario, el evento $A_k$ se mantiene al menos para algunos $k$ casi seguro, en particular, casi seguro que existe algún $t$ tal que $W_i(t)\gt0$ simultáneamente para cada ${1\leqslant i\leqslant n}$ . QED.

El mismo enfoque muestra que, para cada nivel $h$ casi seguro que existe algún $t$ tal que $W_i(t)\gt h$ simultáneamente para cada ${1\leqslant i\leqslant n}$ .