Un estudiante olvidó la Regla del Producto para la diferenciación y cometió el error de pensar que $(fg)'=f'g'$...

Question

Un estudiante olvidó la Regla del Producto para la diferenciación y cometió el error de pensar que $(fg)'=f'g'$. Sin embargo, tuvo suerte y obtuvo la respuesta correcta. La función f que usó fue $f(x)=e^{x^2}$ y el dominio de su problema era el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$. ¿Cuál era la función $g$?

Para la regla del producto

$(fg)'=f'g + fg'=e^{x^2}\cdot 2x\cdot g+e^{x^2}\cdot g'$

Lo que hizo el estudiante

$(fg)'=f'g'=e^{x^2}\cdot 2x \cdot g'$

Ahora asumimos que ambos son equivalentes entre sí

$$(fg)' =(fg)'$$

$$ e^{x^2}\cdot 2x\cdot g+e^{x^2}\cdot g'=e^{x^2}\cdot 2x \cdot g'$$

$$ e^{x^2}\cdot 2x\cdot g = g' (e^{x^2} \cdot 2x - e^{x^2} )$$

$$ \frac{e^{x^2}\cdot 2x}{e^{x^2} \cdot 2x - e^{x^2}} = \frac{g'}{g} $$

$$ \frac{2x}{2x-1} = \frac{g'}{g} $$

Esta es la parte de la que no estoy seguro ya que no sé si puedo cancelar el $e^{x^2}$

Después del comentario de dominik continuo

$$ \frac{2x-1+1}{2x-1} = \frac{g'}{g} $$

$$ 1 + \frac{1}{2x-1} = \frac{g'}{g} $$

$$ \int 1 + \frac{1}{2x-1} dx = \int \frac{g'}{g} dx$$

$$ x+\frac{\ln|2x-1|}{2}+c =\ln|g|$$

$$ g=e^{x+\frac{\ln|2x-1|}{2}+c}$$

$$ \therefore g(x)={\sqrt{2x-1}} \cdot Ae^{x} $$

Answer 1

Como se indicó en los comentarios, tu cancelación de $e^{x^2}$ estuvo bien. Sin embargo, has cometido un error al encontrar $g$. Deberías encontrar $$ g=e^{x+\frac{\ln|2x-1|}{2}+c} = e^ce^x\left[e^{\ln|2x - 1|} \right]^{1/2} = Ae^{x} \sqrt{|2x-1|} $$ y, dado que $x > 1/2$, el valor absoluto es redundante.