Cómo demostrar que una raíz de la ecuación $x (x+1)(x+2) ....... (x+2009) = c $ puede tener multiplicidad en la mayoría de los 2?

Question

Cómo demostrar que una raíz de la ecuación $$x (x+1)(x+2) ....... (x+2009) = c $$ puede tener multiplicidad en la mayoría de los 2 , y para encontrar el valor de $ c $ para los que esto es posible.

Procedí mediante el uso de la derivada método, pero el número de términos implicados es enorme.He estado tratando de encontrar alguna propiedad común de todos estos términos, pero me he encontrado con nada hasta el momento.

Answer 1

Para más peatonal de participación explícito derivado de los cálculos, se observa que la si $c=0,$ entonces todas las raíces tienen multiplicidad de $1.$ Tan solo tenemos en cuenta $c\ne0.$ Deje que $f(x)=x(x+1)(x+2)\ldots(x+2009)$ y $g(x)=f(x)-c.$ Hay una raíz con multiplicidad mayor que $2$, solo si hay un $\alpha$ tales que $g(\alpha)=g'(\alpha)=g"(\alpha)=0.$ Pero $$g'(x)=\frac{f(x)}{x}+\frac{f(x)}{x+1}+\frac{f(x)}{x+2}+\ldots\frac{f(x)}{x+2009}=\sum_{j=0}^{2009}\frac{f(x)}{x+j}$$ y $$g"(x)=\sum_{0\le j<k\le2009}\frac{2f(x)}{(x+j)(x+k)}=\frac{[g'(x)]^2}{f(x)}-\sum_{j=0}^{2009}\frac{f(x)}{(x+j)^2}.$$

Si $g(\alpha)=g'(\alpha)=g"(\alpha)=0,$ entonces $$f(\alpha)=c,\qquad g'(\alpha)=\sum_{j=0}^{2009}\frac{c}{\alpha+j}=0,\qquad g"(\alpha)=-\sum_{j=0}^{2009}\frac{c}{(\alpha+j)^2}=0.$$ Pero esto es imposible, ya que todos los términos en la expresión para $g"(\alpha)$ son no-cero de la misma señal.

Tenemos el doble de las raíces para que las soluciones de $\alpha$ de la ecuación $$\sum_{j=0}^{2009}\frac{1}{\alpha+j}=0,$$ y los valores de $c$ para que un doble de la raíz se produce es de $f(\alpha).$ Tenga en cuenta que si $\alpha$ es una doble raíz, entonces también lo es de $-2009-\alpha$, y que los valores correspondientes de $c$ son iguales. Por lo tanto los $c$ que dan lugar a la doble raíces de hecho dan lugar a pares de doble raíces.