La integración de $\sec^2 x$ a partir de primeros principios

Question

Es posible solucionar $\int \sec^2 x ~dx$ sin saber que $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$?

Answer 1

Sí, esto se puede hacer, pero el método es mucho más que si usted sabe que la derivada de $\tan x$ ya. El punto es convertir este trigonométricas integral en la integral de una función racional, integrarlo con parciales de las fracciones, y, a continuación, convertir la espalda. Usamos la sustitución de $u = \tan(x/2)$, por lo que $$ \sen x = \frac{2u}{1+u^2}, \ \ \ \ cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}, \ \ \ dx = \frac{2\,du}{1+u^2}. $$ (Esto se llama la $\tan(x/2)$de sustitución, y se descubre de forma natural mediante la comparación de la trigonométricas parametrización del círculo unitario y racional parametrización de la unidad de círculo. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_substitution.)

[EDIT: permítanme mostrarles cómo derivar los de transformación de fórmulas anteriores, especialmente la de $dx$, ya que hay un comentario en mi respuesta que depende de conocer la derivada de la $\tan x$ $\sec^2 x$ ya, pero eso no es realmente el caso. Necesitamos saber que $1 + \tan^2 t = \sec^2 t = 1/\cos^2 t$. A continuación,$\cos^2(x/2) = 1/(1+\tan^2(x/2)) = 1/(1+u^2)$, por lo que desde el doble ángulo de fórmulas para el seno y coseno tenemos
$$ \cos x = 2\cos^2(x/2) - 1 = 2\s^2(x/2) - 1 = \frac{2}{1+u^2} - 1 = \frac{1-u^2}{1+u^2} $$ y $$ \sen x = 2\sin(x/2)\cos(x/2) = 2\tan(x/2)\cos^2(x/2) = \frac{2u}{1+u^2}. $$ Luego se diferencian ambos lados de la ecuación por $\sin x$ usando el cociente regla de la derecha: $$ \cos x\,dx = \frac{2(1+u^2)-(2u)(2u)}{(1+u^2)^2}\,du = \frac{2(1-u^2)}{(1+u^2)^2}\,du \Rightarrow dx = \frac{2\,du}{1+u^2}. $$ ]

A partir de la fórmula para $\cos x$ en términos de $u$ tenemos $\sec^2 x = 1/\cos^2 x = (1+u^2)^2/(1-u^2)^2$, por lo que $$ \int \s^2 x \,dx = \int \frac{(1+u^2)^2}{(1-u^2)^2}\frac{2}{1+u^2}\,du = \int \frac{2(1+u^2)}{(1-u^2)^2}\,du. $$ La fracción parcial de la descomposición de la última integrando es $$ \frac{2(1+u^2)}{(1-u^2)^2} = \frac{2(1+u^2)}{(1-u)^2(1+u)^2} = \frac{1}{(1-u)^2} + \frac{1}{(1+u)^2}, $$ así \begin{eqnarray*} \int \sec^2 x\,dx & = & \int\left(\frac{1}{(1-u)^2} + \frac{1}{(1+u)^2}\right)\,du \\ & = & \frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u} + C \\ & = & \frac{2u}{1-u^2} + C \\ & = & \frac{2\tan(x/2)}{1 - \tan^2(x/2)} + C. \end{eqnarray*} Recuerdo ahora la adición de la fórmula para la tangente de la función: $$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1-(\tan a)(\tan b)}.$$ Thus the double-angle formula is $\tan(2a) = 2(\bronceado a)/(1 - \tan^2)$. Therefore, using $a = x/2$, obtenemos $$ \int \s^2 x\,dx = \tan\left(2\frac{x}{2}\right) + C = \tan x + C. $$

Answer 2

El uso de la trigonometría identidad para $\text{sec}^2x$ y escribir la expresión en términos de$\text{sin }x$$\text{cos }x$: $$ \int{\text{sec}^2x\text{ }dx}=\int{(\text{bronceado}^2x+1)\text{ }dx}=\int{\text{bronceado}^2x\text{ }dx}+\int{dx}=\int{\frac{\text{pecado}^2x}{\text{cos}^2x}\text{ }dx}+\int{dx} $$ Preparar para la integración por partes: $$ u=\text{pecado }x~~~~~~~~~~du=\text{cos }x\text{ }dx~~~~~~~~~~dv=\frac{\text{pecado }x}{\text{cos}^2x}\text{ }dx~~~~~~~~~~v=\frac{1}{\text{cos }x} $$ Integrar por partes y simplificar: $$ \int{\frac{\text{pecado}^2x}{\text{cos}^2x}\text{ }dx}+\int{dx}=\frac{\text{pecado }x}{\text{cos }x}-\int{\frac{\text{cos }x}{\text{cos }x}\text{ }dx}+\int{dx}=\text{bronceado }x+C $$

Answer 3

Aquí es un enfoque. En primer lugar, tenga en cuenta que

$$ \sec(x)=\frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}, $$

a continuación, utilice la sustitución de $u=e^{ix}$ para evaluar la integral.

Answer 4

Demostrar que para todos los $t_i \in x_i-x_{i-1}$ cuando la $x_i$ son partición de puntos en $J=[a,b]$, $\forall \epsilon > 0$, existe una $\delta$ que mientras $\max{\left(x_i-x_{i-1}\right)}<\delta$ tenemos, $$\left|\sum_{i=0}^{\infty} \sec^2(t_i)(x_i-x_{i-1})-(\tan(b)-\tan(a))\right| < \epsilon $$

EDITAR
Como Kcd señala, $J$ debe ser elegido de forma adecuada, de modo que no se donde en $J$, $\sec^{2}{x}$ "blow up", de lo contrario, la FTC no. Cómo, usted podría preguntar, uno de ellos tendría que llegar a la conclusión de que uno debe demostrar esto? Para una apropiada de malla pequeña, $\max{(x_i-x_{i-1})}$, uno podría darse cuenta de que $$ \sum_{i=1}^{N}\s^{2}{t}(x_i-x_{i-1}) \approx \bronceado{b} - \bronceado{un} $$

Answer 5

Lo que si se escribe el numerador como $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)$ y dividir la fracción? Para integrar a $\tan^{2}(x)$, se pueden sumar y restar 1 para obtener una tangente como parte de su anti derivados. La "sustracción" de 1 cancela en contra de la segunda fracción después de la división.