Esta no es una respuesta autónoma, y en su mayoría tiene enlaces (con una breve descripción de cada uno) a lo que busqué en Google (que, a su vez, sí responde a la pregunta, creo).
Lo siguiente Página de MathForum del año 2000 discute el mismo problema y atribuye la solución (de construcción geométrica, a diferencia de la algebraica):
Simon Lhuilier (1750-1840) lo demostró:
Las secciones de un prisma triangular arbitrario incluyen todas las formas posibles de triángulos.
Se refiere a la sección 73 del libro de Heinrich Dorrie, 100 grandes problemas de matemáticas elementales disponible en línea aquí También aquí pero no todas las secciones .
En esta sección se analiza (con construcciones) el Teorema de Pohlke-Schwarz (enlace a la enciclopedia de las matemáticas) que es un resultado más fuerte: para cuadriláteros en lugar de triángulos. Afirma: La imagen oblicua de un tetraedro dado siempre se puede determinar de tal manera que sea similar a un cuadrilátero dado. Como paso en la demostración, el teorema de Lhuilier se demuestra en la p.305, Fig.86.
El problema que has publicado es equivalente al siguiente: Dadas tres líneas paralelas en el espacio, construir un triángulo equilátero con un vértice en cada línea. Si las tres líneas están en el mismo plano la solución es fácil (usando $60^\circ$ rotación), y podría encontrarse aquí (problema de MSE) o aquí (UGA) o aquí (BrownU) o aquí (1915 Problema mensual 454) .
También se pueden encontrar variaciones, en tres dimensiones, y cuando no se requiere que las líneas sean paralelas en este documento de Ochonski (algunas de las construcciones que hay me parecen bastante concurridas, quizás sean necesariamente complicadas). Más sobre el teorema de Pohlke-Schwarz aquí (artículo de Sklenarikova y Pemova) y aquí (documento de 1915 de Emch) .
El problema de las tres rectas paralelas (en un plano, o no en un plano) se plantea como ejercicios 1 y 2 en la página 37 del libro de Z. A. Melzak, Invitación a la geometría enlace a google books .
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Una idea sería formar el cilindro a partir del triángulo dado, y luego mover tres puntos (o fijar un punto mover los otros dos) en los bordes del cilindro hasta obtener un triángulo equilátero. Me pregunto si se podría utilizar un teorema del punto fijo, en el caso de que se muevan sólo dos puntos, considerar que el espacio de configuración de estos dos puntos es un cuadrado (tal vez esta última idea está fuera de lugar).
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@Mirko Te pido una prueba geométrica, y -si es posible- constructiva. Así que cualquier cosa que implique una declaración como "punto de deslizamiento $A$ a lo largo de... hasta..." posiblemente caiga en la categoría de no constructivo, dependiendo de los detalles. Aunque alguna prueba geométrica es mejor que ninguna.
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Entonces, para darle la vuelta al problema, digamos que encuentras una construcción geométrica, C, que lo hace. ¿Podría entonces uno utilizar C para resolver algunos problemas que de otro modo serían irresolubles, como la trisección de un ángulo o la duplicación del cubo? (No he pensado en los detalles y no tengo ninguna razón en particular para creer que éste sería el caso... pero quién sabe). Hay varios métodos para hacer los dos problemas anteriores, suponiendo la construcción, por ejemplo, de una determinada curva, ver Cuadratura de Hipias
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@Mirko La solución analítica sólo implicaba la resolución de ecuaciones cuadráticas, así que no debería pasar nada de eso.
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Después de darle vueltas a este problema se me ocurrió esta idea: si se considera el prisma con el triángulo dado como base, y se "desenrolla" la superficie lateral sobre un plano, la existencia del triángulo equilátero deseado está relacionada con el problema más general sobre el que pregunté en este post: Correo electrónico:
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He aquí una pregunta relacionada (pero no duplicada): "¿Se puede mapear siempre un triángulo dado en un triángulo con ángulos elegidos mediante una proyección paralela?" . Es mucho más general que esta pregunta (el proyecto en El triángulo no tiene por qué ser equilátero, sólo "fijo"), y todas las respuestas se derivan analíticamente, pero ver las respuestas analíticas puede ayudar a la búsqueda de una construcción geométrica.
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@SebastianGiles Sí, tu pregunta es casi equivalente a la mía, salvo que las distancias entre paralelas consecutivas no tienen por qué satisfacer la desigualdad del triángulo. Tal vez esa forma de pensar en el problema resulte fructífera. Al menos lo convierte en un problema de geometría plana.
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@Azul Gracias por llamarme la atención sobre ese problema, que francamente parece más interesante que éste. Y tienes razón en que incluye mi pregunta como un caso especial. Tendré que mirar con detenimiento las soluciones de allí para ver si insinúan una bonita idea geométrica para nuestro problema.