¿Qué significan $\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ y $\bigcap_{n=1}^\infty S_n$?

Question

En algunos casos, tendremos que considerar la unión o la intersección de varios, incluso infinitos conjuntos, definidos de manera obvia. Por ejemplo, si para cada número entero positivo $n$, se nos da un conjunto $S_n$, entonces $$\bbox[border:1px solid red]{\bigcup_{n=1}^\infty S_n}=S_1\cup S_2\cup\cdots=\{x\mid x\in S_n\text{ para algún }n\},$$ y $$\bigcap_{n=1}^\infty S_n=S_1\cap S_2\cap\cdots=\{x\mid x\in S_n\text{ para todo }n}.$$ Dos conjuntos se dice que son disjuntos si su intersección es vacía. Más generalmente, varios conjuntos se dice que son disjuntos si ninguno de ellos tiene un elemento en común. Una colección de conjuntos se dice que es una partición de un conjunto $S$ si los conjuntos en la colección son disjuntos y su unión es $S$.

Normalmente lo que sé es que puedes hacer una unión o una intersección entre solo dos conjuntos. En esta expresión, hay una gran unión de conjuntos. Me pregunto sobre el significado de esta expresión. ¿Qué significa? ¿Qué hace el signo de infinito en la parte superior?

Las cosas se complican aún más con las leyes de De Morgan, que utilizan la misma expresión:

Dos propiedades particularmente útiles se dan por las leyes de De Morgan, que establecen que $$\left(\bigcup_nS_n\right)^c=\bigcap_nS_n^c,\quad\quad\quad\quad\left(\bigcap_nS_n\right)^c=\bigcup_nS_n^c.$$

Cualquiera que pueda explicarme la expresión o las leyes de De Morgan sería muy apreciado.

Answer 1

La ecuación donde has encerrado la primera parte en rojo es la definición de la notación $\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n$.

Funciona de la misma manera que lo hace la notación de suma: $$ \sum_{n=a}^{b} f(n) \quad\text{significa}\quad f(a)+f(a+1)+\cdots+f(b-1)+f(b) $$ y $$ \bigcup_{n=a}^{b} f(n) \quad\text{significa}\quad f(a)\cup f(a+1)\cup\cdots\cup f(b-1)\cup f(b) $$ $$ \bigcap_{n=a}^{b} f(n) \quad\text{significa}\quad f(a)\cap f(a+1)\cap\cdots\cap f(b-1)\cap f(b) $$

Cuando el límite superior es $\infty$ significa una unión de infinitos conjuntos: $$ \bigcup_{n=a}^{\infty} f(n) \quad\text{significa}\quad f(a)\cup f(a+1)\cup\cdots $$ cuyo significado preciso está definido en la explicación que citas.

Answer 2

Teniendo en cuenta las leyes de de Morgan, se convierten en principios básicos para el manejo de la negación en presencia de cuantificadores en la lógica. Primero afirmemos de manera más formal $$ x\in\bigcup_{i\in\Bbb N}S_n \iff \exists n\in\Bbb N: x\in S_n \qquad\text{y}\qquad x\in\bigcap_{i\in\Bbb N}S_n \iff \forall n\in\Bbb N: x\in S_n. $$ Ahora la ley $\left(\bigcup_{i\in\Bbb N}S_n\right)^c=\bigcap_{i\in\Bbb N}{S_n}^c$ se convierte, recordando que la igualdad de conjuntos simplemente significa que uno es miembro del lado izquierdo si y solo si uno es miembro del lado derecho, $$ \lnot(\exists n\in\Bbb N: x\in S_n)\iff \forall n\in\Bbb N: \lnot(x\in S_n). $$ De manera similar $\left(\bigcap_{i\in\Bbb N}S_n\right)^c=\bigcup_{i\in\Bbb N}{S_n}^c$ se convierte en $$ \lnot(\forall n\in\Bbb N: x\in S_n)\iff \exists n\in\Bbb N: \lnot(x\in S_n). $$ Estas no son nada más ni nada menos que las reglas para el manejo de la negación de frases cuantificadas existencial o universalmente (en el caso particular de la cuantificación sobre $\Bbb N$, pero se podría reemplazar por cualquier conjunto).