Suma de la forma $r+r^2+r^4+\dots+r^{2^k} = \sum_{i=1}^k r^{2^k}$

Question

Me pregunto si existe alguna fórmula para la siguiente potencia de la serie :

$$S = r + r^2 + r^4 + r^8 + r^{16} + r^{32} + ...... + r^{2^k}$$

Hay alguna forma de calcular la suma de los anteriores de la serie (si $k$ es) ?

Answer 1

Una fórmula para $$r+r^2+r^4+\cdots+r^{2^k}$$ es $$r+r^2+r^4+\cdots+r^{2^k}$$ Se puede calcular la suma de la serie, si $k$ y $r$ son dadas, mediante el cálculo de la suma de la serie, es decir, mediante el cálculo de los términos individuales y sumándolas.

Presumiblemente, lo que se desea es una forma cerrada de la fórmula para la suma, en términos de funciones familiares, tales como los logaritmos y exponenciales y senos y cosenos y potencias y raíces, y de una manera más eficiente de calcular. Como se indica en los comentarios, no hay fórmula que se conoce. No sé si es posible probar que no existe tal fórmula, pero teniendo en cuenta cómo elemental la pregunta es, estoy seguro de que si hubo una buena fórmula para que, Euler habría encontrado hace 250 años, y nos gustaría a todos saber acerca de esto.

Answer 2

No he sido capaz de obtener una forma cerrada expresión para la suma, pero tal vez usted o alguien más puede hacer algo con lo que sigue.

En Blackburn papel (de referencia), hay algunas manipulaciones que impliquen la serie geométrica

$$1 \; + \; r^{2^n} \; + \; r^{2 \cdot 2^n} \; + \; r^{3 \cdot 2^n} \; + \; \ldots \; + \; r^{(m-1) \cdot 2^n}$$

que podría dar algunas ideas útiles para alguien. Sin embargo, hasta ahora no he encontrado las identidades o las manipulaciones en Blackburn papel para ser de alguna ayuda.

Charles Blackburn, Analítica teoremas relativos a la geométrica de la serie, Filosóficas Revista (3) 6 #33 (Marzo de 1835), 196-201.

Como para su serie, traté de explotación de la factorización de $r^m – 1$ como el producto de la $i-$ 1 y $1 + r + r^2 + \ldots + r^{m-1}:$

En primer lugar, sustituir a cada uno de los términos $r^m$ con $\left(r^{m} - 1 \right) + 1.$

$$S \;\; = \;\; \a la izquierda(r – 1 \right) + 1 + \left(r^2 – 1 \right) + 1 + \left(r^4 – 1 \right) + 1 + \left(r^8 – 1 \right) + 1 + \ldots + \left(r^{2^k} – 1 \right) + 1$$

Siguiente, reemplazar el $(k+1)$-muchas adiciones de $1$, con una sola adición de $k+1.$

$$S \;\; = \;\; (k+1) + \left(r – 1 \right) + \left(r^2 – 1 \right) + \left(r^4 – 1 \right) + \left(r^8 – 1 \right) + \ldots + \left(r^{2^k} – 1 \right)$$

Ahora uso el hecho de que por cada $m$ tenemos $r^m - 1 \; = \; \left(r-1\right) \left(1 + r + r^2 + \ldots + r^{m-1}\right).$

$$S \;\; = \;\; (k+1) + \left(r – 1 \right)\left[1 + \left(1 + r \right) + \left(1 + r + r^2 + r^3 \right) + \ldots + \left(1 + r + \ldots + r^{2^{k} - 1} \right) \right]$$

En este punto, vamos a centrarnos en la expresión entre corchetes. Esta expresión es igual a

$$\left(k+1\right) \cdot 1 + kr + \left(k-1\right)r^2 + \left(k-1\right)r^3 + \left(k-2\right)r^4 + \ldots + \left(k-2\right)r^7 + \left(k-3\right)r^8 + \ldots + \left(k-3\right)r^{15} + \ldots + \left(k-n\right)r^{2^n} + \dots + \left(k-n\right)r^{2^{n+1}-1} + \ldots + \left(1\right) r^{2^{k-1}} + \ldots + \left(1\right) r^{2^{k} - 1}$$

Ahora estoy en una pérdida. Podemos comprimir ligeramente este factorizando los factores comunes para grupos de términos tales como $(k-2)r^4 + \ldots + (k-2)r^7$ obtener $(k-2)r^4\left(1 + r + r^2 + r^3\right).$ Hacer esto le da a la siguiente para la expresión entre corchetes.

$$\left(k+1\right) + \left(k\right)r + \left(k-1\right)r^2 \left(1+r\right) + \left(k-2\right)r^4\left(1+r+r^2+r^3\right) + \ldots + \;\; \left(1\right)r^{2^{k-1}} \left(1 + r + \ldots + r^{2^{k-1} -1} \right)$$

Answer 3

Aunque en realidad no puedo dar una respuesta, he explorado muchas de las avenidas de aproximación de la suma, que me han ilustrado a continuación.

Integral de la Aproximación de la Suma

$$ \int_{0}^{\infty} r^{2^x} \mathrm dx \le \sum_{i=0}^\infty r^{2^i}\le \int_{-1}^{\infty} r^{2^x} \mathrm dx $$

Tenemos: $$ \int r^{2^x} \mathrm dx = \frac{\text{Ei}\left(2^x \log (r)\right)}{\log (2)} $$

Para $r < 1$, esto converge a $0$ como $x\to\infty$. Por lo tanto, tenemos los siguientes límites: $$ -\frac{\text{Ei}\left(\log (r)\right)}{\log (2)} \le \sum_{i=0}^\infty r^{2^i} \le -\frac{\text{Ei}\left(\frac{\log (r)}{2}\right)}{\log (2)} $$

Como un ejemplo, considere la posibilidad de $r = 1/2$. La evaluación de los límites, tenemos: $ 0.546307 \le 0.816422 \le 1.15583 $. Es claro que este obligado no puede ser exclusivamente el mejor. Sin embargo, como $r\a 1$, los límites son asintóticamente igual.

Si no permitimos que $x \to \infty$ y en lugar de considerar el caso general, tenemos los siguientes límites (si nos detenemos en $c$):

$$ \frac{\text{Ei}\left(2^{c+1} \log (r)\right)-\text{Ei}(\log (r))}{\log (2)} \le \Sigma \le \frac{\text{Ei}\left(2^c \log (r)\right)-\text{Ei}\left(\frac{\log (r)}{2}\right)}{\log (2)} $$

Aquí está un gráfico de estos límites.

Error de Aproximación de la Suma

Para la suma parcial, tenemos:

$$ (n-m) r^{2^n} \le \sum _{k=m+1}^n r^{2^k} \le \frac{r^{2^{m+1} (n-m+1)}-r^{2^{m+1}}}{r^{2^{m+1}}-1} $$

Por $m = -1$, tenemos:

$$ (n + 1) r^{2^n} \le \sum_{k=0}^n r^{2^k} \le \frac{r^{n+2}-r}{r-1} $$

La suma parcial es necesario si desea una aproximación cualquier cosa cerca de la cosa real.

Podemos utilizar esta suma parcial para truncar el error de la función. Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar:

$$ \sum_{k=0}^{n} r^{2^k} $$

Con un error de no más de $\epsilon$. Hemos dividido este en una suma parcial:

$$ \sum_{k=0}^{m} r^{2^k} + \sum_{k=m+1}^{n} r^{2^k} = \sum_{k=0}^{n} r^{2^k} $$

Queremos encontrar $m$ tales que la suma parcial es menor que $\epsilon$.

$$ \sum_{k=m+1}^{n} r^{2^k} \le \epsilon $$

Aplicar nuestros límites para obtener:

$$ \frac{r^{2^{m+1} (n-m+1)}-r^{2^{m+1}}}{r^{2^{m+1}}-1} \le \epsilon $$

Que, dado $n, r,\text{y}, \epsilon$ reduce el problema a una 1D de búsqueda.

Answer 4

No he visto una forma cerrada de la fórmula para la suma de hablar acerca de, y el sentido que todos los demás ya se comentó en este hecho, pensé que podría hablar de que he visto varios otros resultados interesantes que involucran doble exponenciales y potencias de dos, si usted está interesado: $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{x^{2^k}+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^n}{x^{2^n}-1}$$ $$\prod_{k=0}^{n-1}(x^{2^k}+1)=\frac{x^{2^n}-1}{x-1}$$ $$\sum_{k=1}^{2^n}\binom{2^n}{k}=2^{2^n}-1$$ $$\prod_{n=0}^\infty(1+x^{2^n})=\frac{1}{1-x}$$

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{x^{2^n}+1}=\frac{1}{x-1}$$ $$\sum_{n=0}^\infty\frac{4^nx^{2^n}}{(x^{2^n}+1)^2}=\frac{x}{(x-1)^2}$$

$$\text{También para |x| < 1}$$ $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^nx^{2^n}}{x^{2^{n+1}} x^{2^n}+1}=\frac{-2x^2}{x^4+x^2+1} $$ $$\text{Dejar que $f(n)$ cuenta cómo muchos de los factores de n 2 n, entonces tenemos} $$ $$\frac{1}{x-1}-\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{x^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{x^{2^n}+1}$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^2}=\frac{\pi^2}{18}$$ $$\sum_{k=1}^{2^n} f(k)=2^n-1$$ $$\text{también se demostró por Erdős que tanto las constantes de abajo son irracionales}$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n-1}=C_1$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2^n}+1}=C_2$$ $$\text{La constante $C_1$ es conocido como el Erdős-Borwein Constante}$$ $$\text{La constante $C_2$ es menos conocido y se ha hablado aquí:}$$ $$\text{http://journal.ms.u-tokyo.ac.jp/pdf/jms080206.pdf}$$

Answer 5

Considerar la secuencia de $a_n$ define como: Si $n=1$ $a_n=1$, si por el contrario $n>1$ $a_n=-1$.

Esta es la secuencia de $a_n = 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,...$

El Dirichlet inversa ($b_n$) de $a_n$ es el oeis de la secuencia de llamada "El número de ordenadas factorizations de n" http://oeis.org/A074206 , a partir de: $b_n = 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 8,...$, que también es una de la serie de Dirichlet. Observe que el primer término: $b_0 = 0$.

Por razones que no puedo explicar claramente, $b_n$ tiene el ordinario de la generación de la función:

$$\sum\limits_ {n = 1}^{\infty} b_n r^n = r + \sum\limits_ {a = 2}^{\infty} r^{a} + \sum\limits_ {a = 2}^{\infty}\sum\limits_ {b = 2}^{\infty} r^{ab} + \sum\limits_ {a = 2}^{\infty}\sum\limits_ {b = 2}^{\infty}\sum\limits_ {c = 2}^{\infty} r^{abc} + \sum\limits_ {a = 2}^{\infty}\sum\limits_ {b = 2}^{\infty}\sum\limits_ {c = 2}^{\infty}\sum\limits_ {d = 2}^{\infty} r^{abcd} + ... $$

Evaluar cada suma parcial a la sumatoria del índice igual a $2$:

$$r + \sum\limits_ {a = 2}^{2} r^{a} + \sum\limits_ {a = 2}^{2}\sum\limits_ {b = 2}^{2} r^{ab} + \sum\limits_ {a = 2}^{2}\sum\limits_ {b = 2}^{2}\sum\limits_ {c = 2}^{2} r^{abc} + \sum\limits_ {a = 2}^{2}\sum\limits_ {b = 2}^{2}\sum\limits_ {c = 2}^{2}\sum\limits_ {d = 2}^{2} r^{abcd} + ... $$

Simplificar:

$$r + r^{2} + r^{2*2} + r^{2*2*2} + r^{2*2*2*2} + r^{2*2*2*2*2} + ...... + r^{2^k}$$

multiplicar:

$$r + r^{2} + r^{4} + r^{8} + r^{16} + r^{32} + ...... + r^{2^k}$$

la llamada es de $S$ y listo.

La suma:

$$\sum\limits_ {n = 1}^{\infty} b_n r^n$$

anteriormente, probablemente no se han cerrado de forma distinta a la de varias sumas de dinero, y por lo tanto $S$, probablemente no tiene una forma cerrada. Pero señala cuál es el ámbito de la generación de funciones.