Es cierto que si $p\neq5$ es un número primo, a continuación,$1^p+2^{p-1}+\cdots+(p-1)^2+p^1\not\equiv0\pmod p$?

Question

Es cierto que si $p\neq5$ es un número primo, a continuación,$1^p+2^{p-1}+\cdots+(p-1)^2+p^1\not\equiv0\pmod p$?

Si $p=5$$1^5+2^4+3^3+4^2+5^1\equiv0\pmod 5,$, pero no hay tal prime $p\leq40000$ más, puedes probarlo o dar un contraejemplo?

PS: Si $p>5$ podría ser un número compuesto, a continuación, $p\in \{16,208,688,784,2864,9555\cdots\}$ también funciona.

Answer 1

$p=81239$ es un contraejemplo.

Answer 2

Esto suena como una $\sum\frac 1p$ distribución, similar a la "Si $p \mid 10^x-1$, también lo $p^2$". Esto tiene soluciones para $3$, $487$, y $56598313$, y no hay otros valores en $120^4$.

Uno sólo tiene que ir y echar un vistazo.