Prueba constructiva de que un espacio vectorial normado contablemente infinito es incompleto

Question

Estoy familiarizado con la prueba estándar de que no existe $\mathbb{N}$ -espacio de Banach de dimensiones basado en Baire: Sea $\{ v_{K} : k \in \mathbb{N} \}$ sea una base normalizada para $V$ y que $W_{\ell} = \mathbb{R} v_{1} + \cdots + \mathbb{R} v_{\ell}$ . Entonces $V = \cup_{\ell \in \mathbb{N}} W_{\ell}$ . Además, $W_{\ell}$ está cerrado, por lo que $X_{\ell} = V \setminus W_{\ell}$ está abierto. También, $X_{\ell}$ es denso. Para demostrar que es denso, dejemos que $v = \sum _{k = 1}^{m} r_{k} v_{k} \in V$ , donde $r_{m} \neq 0$ . Si $m > \ell$ entonces $v \in V \setminus W_{\ell}$ . Si no, que $\epsilon > 0$ Entonces $v + \frac{\epsilon}{2} v_{\ell + 1} \in X_{\ell} \cap N(v, \epsilon)$ . Baire nos dice que $\cap_{\ell \in \mathbb{N}} X_{\ell}$ es denso, pero en realidad es vacío, una contradicción.

Mi pregunta es: ¿se puede argumentar de forma constructiva? ¿Necesitamos la TDC para demostrar que no existe $\mathbb{N}$ -¿espacio de Banach de una dimensión? ¿Podemos en cambio hacer un argumento de diagonalización, es decir, construir una secuencia de Cauchy que no converja en $\operatorname{span} \{ v_{k} : k \in \mathbb{N} \}$ ?

Quizás, además, ¿el resultado depende de la TDC? Es decir, ¿el resultado implica la TDC?

Gracias de antemano.

Answer 1

Escoge $\epsilon = \frac1{10}$ .

Escoge $w_{k} \in W_{k}/W_{k-1}$ con norma de cociente $\|w_k\| = 1$ . Entonces existe un representante $x_k \in W_k$ tal que $x_k + W_{k-1} = w_k$ , $\|x_k\| < 1+\epsilon$ y $\|x_k - y\| \ge 1$ para todos $y \in W_{k-1}$ .

Ahora considere $z = \sum_{k=1}^\infty 10^{-k} x_k$ . Podemos demostrar fácilmente que esta serie es convergente en Cauchy, y por tanto converge en $X$ .

En la norma del cociente $X/W_n$ obtenemos $$ \|z + W_n\| \ge 10^{-n-1} \|x_{n+1}+W_n\| - \sum_{k=n+2}^\infty 10^{-k} \|x_k+W_n\| \ge 10^{-n-1} - (1+\epsilon)10^{-n-1}/9 > 0 .$$

Por lo tanto, $z \notin W_n$ para cualquier $n \in \mathbb N$ y por lo tanto $z \notin V$ .