Es esta contracción del tensor métrico derivados simétrica?

Question

Un par de veces cuando he tratado de demostrar simetrías de varios tensores (para aprender), he terminado con la siguiente expresión, y el hecho de que a) me equivocó, o b) la expresión es simétrica con respecto a la conmutación de k y l.

$$ \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \frac{\partial g^{ij}}{\partial x^l} $$

Donde $g_{..}$ $g^{..}$ son los covariante y contravariante del tensor métrico, respectivamente, y $x^.$ es la coordenada.

Es la expresión simétrica respecto de conmutación $k$$l$? Si es así, es posible demostrar esto usando sólo la notación indicial?

Answer 1

Ya que el producto de la regla nos dice $0 = \partial( g g^{-1} ) = (\partial g) g^{-1} + g (\partial g^{-1})$, tenemos una fórmula para la derivada de la inversa de la métrica:

$$ \partial_l g^{ij} = -g^{ia} g^{jb} \partial_l g_{ab}.$$

Sustituyendo esto en su expresión obtenemos

$$ -g^{ia} g^{jb} \partial_l g_{ab} \partial_k g_{ij}.$$

Si podemos cambiar las maquetas de los índices de $a \leftrightarrow i$, $b \leftrightarrow j$ entonces esto es igual a

$$ -g^{ai} g^{jb} \partial_l g_{ij} \partial_k g_{ab};$$

así que es simétrica en $k$$l$.

Answer 2

Parece ser simétrica, a pesar de que la prueba se me ocurrió requiere la introducción de un operador de la derivada covariante. No puede ser otra prueba de que no requieren tanto de la maquinaria pesada.

Deje $\nabla_k$ ser una de torsión libre de operador de la derivada se define tal que $\nabla_k g_{ij} = 0$. Por las propiedades generales de los derivados de los operadores, sabemos que existe un tensor $C^i {}_{jk}$ de manera tal que las coordenadas de derivados y nuestro nuevo derivado de una covariante de rango-2 tensor están relacionados por $$ \nabla_k g_{ij} = \partial_k g_{ij} - C^m {}_{ki} g_{mj} - C^m {}_{kj} g_{im} $$ y del mismo modo, la derivada de una contravariante de rango-2 tensor están dadas por $$ \nabla_k g^{ij} = \partial_k g^{ij} + C^i {}_{km} g^{mj} + C^j {}_{km} g^{im}. $$ Dado que, por definición,$\nabla_k g_{ij} = 0$$\nabla_l g^{ij} = 0$, la cantidad en su pregunta se convierte en $$ \partial_k g_{ij} \partial_l g^{ij} = (C^m {}_{ki} g_{mj} + C^m {}_{kj} g_{im})(-C^i {}_{ln} g^{nj} - C^j {}_{ln} g^{en}) = - 2 C^m {}_{ki} C^i {}_{lm} - 2 C^m {}_k {}^j C_{mlj}. $$ Ambos términos de esta expresión se manifiestamente simétrico bajo el intercambio de $k$$l$, por lo que la expresión $\partial_k g_{ij} \partial_l g^{ij}$ es simétrica así.