La conjetura sobre la integralidad $ \int_0 ^1 K \left ( \sqrt { \vphantom1x } \right )\,K \left ( \sqrt {1-x} \right )\,x^ndx$

Question

Estoy interesado en la siguiente integral: $$ \mathcal J(n)= \int_0 ^1 K \left ( \sqrt { \vphantom1x } \right )\,K \left ( \sqrt {1-x} \right )\,x^ndx, \tag1 $$ donde $K(z)$ es el una integral elíptica completa del tipo 1ˢᵗ : $$K(z)={_2F_1} \left ( \begin {array}c \tfrac12 , \tfrac12\\1\end {array} \middle |\ z^2 \right ) \cdot\frac\pi2.\tag2 $$ Usando integración numérica y técnicas de cálculo simbólico inverso, encontré una fórmula conjetural para esta integral, que sólo parece funcionar para $n \in\mathbb N_0$ : $$ \mathcal J(n) \stackrel ?= \frac { \pi ^3}{8 \cdot4 ^n} \left ( \frac {(2n-1)!!}{n!} \right )^2{_4F_3} \left ( \begin {array}c \tfrac12 , \tfrac12 ,-n,-n \\1 , \tfrac12 -n, \tfrac12 -n \end {array} \middle |\ 1 \right ). \tag3 $$ Esta fórmula produce la siguiente secuencia de resultados para $n=0,1,2,...$ $$ \frac { \pi ^3}8, \frac { \pi ^3}{16}, \frac {11\, \pi ^3}{256}, \frac {17\, \pi ^3}{512}, \frac {1787 \, \pi ^3}{65536}, \frac {3047\, \pi ^3}{131072}, \frac {42631\, \pi ^3}{2097152}, \frac {75937\, \pi ^3}{4194304},... \tag4 $$

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• ¿Podemos probar la conjetura $(3)$ es correcto?
• ¿Es posible encontrar una generalización que funcione para valores no enteros de $n$ también?

Answer 1

Siguiendo mi respuesta en esta pregunta Tenemos

$$ \begin {align*}&\; \int ^1_0x^nK \left ( \sqrt { \vphantom1x } \right )K \left ( \sqrt {1-x} \right )dx \\ &= \int ^1_0 \left ( \frac\pi2\sum ^{ \infty }_{m=0} \frac {(2m)!^2}{2^{4m}(m!)^4}x^{m+n} \right )K \left ( \sqrt {1-x} \right )dx \\ &= \frac\pi2\sum ^{ \infty }_{m=0} \frac {(2m)!^2}{2^{4m}(m!)^4} \int ^1_0x^{m+n}K \left ( \sqrt {1-x} \right )dx \\ &= \frac\pi2\sum ^{ \infty }_{m=0} \frac {(2m)!^2}{2^{4m}(m!)^4} \frac {2^{4m+4n+1}((m+n)!)^4}{(2m+2n+1)!^2} \\ &=2^{4n} \pi\sum ^{ \infty }_{m=0} \frac {(2m)!^2}{(m!)^4} \frac {((m+n)!)^4}{(2m+2n+1)!^2} \\ &= \frac {2^{4n} \pi (n!)^4}{(2n+1)!^2}{}_4F_3 \left ( \frac12 , \frac12 ,n+1,n+1;1,n+ \frac32 ,n+ \frac32\middle |\,1 \right ). \end {align*} $$ Este formulario comprueba numéricamente la ausencia de números enteros $n$ y creo que debería estar relacionado con la forma de conjetura de OP a través de algún $ _4F_3$ transformación.

Answer 2

Zhou trata con integrales similares en arxiv.org/pdf/1301.1735 . Una técnica efectiva es explotar: $$ K(k) = 2 \sum_ {n \geq 0} \frac {P_n(2k-1)}{2n+1}$$ como lo hice yo. aquí .

El polinomios de Legendre desplazados dan una base ortogonal de $L^2(0,1)$ así que $ \mathcal {J}(n)$ para cualquier $n \in\mathbb {N}$ se relaciona fácilmente con la serie: $$ \sum_ {n \geq 0} \frac {(-1)^n}{(2n+1)^3}= \frac { \pi ^3}{32}$$ que es un caso particular de la serie computarizada aquí .