interna de homs y adjunctions?

Question

Esta es probablemente una pregunta fácil. Vamos a C una categoría con (finito) de productos. Un interno de hom en las C es un objeto uhom(X, Z) que representa el functor:

Y | \begin{array}{ccccccc} & & 0 \\ \\ 10 & ) & 0 \\ & & 0 \\ \hline & & 0 \end> hom(Y x x, Z)

aquí "uhom" es ", subrayó hom" que es la forma como es comúnmente denotado. Muchos ejemplos de categorías con internos de homs satisfacer a priori más fuerte para los de contigüidad:

uhom(Y x X. Z) = uhom(Y, uhom(X,Z))

Es este sistema automático para las categorías internas de homs? Hay forma fácil de comprender contador de ejemplo?

(*) Este podría no ser el más general/mejor definición de los internos hom, pero es válida para muchos de los ejemplos.

Answer 1

Yo creo que ambos uhom(Y × X, Z) y uhom(Y, uhom(X, Z)) representan el mismo functor: hom(W, uhom(Y × X, Z)) = hom(W × Y × X, Z) hom(W, uhom(Y, uhom(X, Z))) = hom(W × Y, uhom(X, Z)) = hom(W × Y × X, Z), por lo tanto, por Yoneda lema son isomorfos.

Como una observación, la noción de derecho del interior del hom en la ausencia de estructura monoidal es la noción de cerrado de la categoría: http://en.wikipedia.org/wiki/Closed_category

Answer 2

No es esto simplemente Yoneda dada la asociatividad de productos?

Hom(T,uHom(Y x x,Z)) = Hom(T x Y x X,Z) Hom(T, x, Y, uHom(X,Z)) = Hom(T,uHom(Y,uHom(X,Z)) para cualquier objeto de prueba T.

Answer 3

Como Dimitri ans bhargav dijo, este es automática para las categorías internas de homs. Y no es necesario que x es el producto: usted tiene el mismo resultado para cualquier cerrada categoría monoidal (en su caso es cartesiana cerrada). Se puede encontrar en "conceptos Básicos de la enriquecido categoría de teoría", por G. M. Kelly, página 14, que usted puede obtener de forma gratuita aquí: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html .