$\forall$ es "distributiv"

Question

Recientemente me topé con una equivalencia en el análisis de la formulario de $\forall x\varphi(x)\leftrightarrow\forall x\psi(x)$. Este hecho me pregunto si esto es mabe equivalente a $\forall x(\varphi(x)\leftrightarrow\psi(x))$, es decir, si "$\forall$" es "distributiv" w.r.t. $\varphi$ y $\psi$.

Mis preguntas son:

1. Qué sentido preguntar si $\forall x\varphi(x)\leftrightarrow\forall x\psi(x)$ es equivalente a $\forall x(\varphi(x)\leftrightarrow\psi(x))$, sin la especificación de algunos "marco" en el que esta cuestión ha para ser respondidas ? (Como por ejemplo la de Hilbert del sistema o en el sentido de de ser cierto en todos los modelos ?)

2. Es el caso de que $\forall x\varphi(x)\leftrightarrow\forall x\psi(x)$ es, de hecho, equivalente a $\forall x(\varphi(x)\leftrightarrow\psi(x))$ ?

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*Para aquellos que quieren saber, cómo llegué a esta pregunta:*$\varphi$ es el triángulo de la desigualdad $$ \forall x,y\in\mathbb{R}:\ \left|x+y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|\quad\quad\quad(1), $$ y $\psi$ la desigualdad parecidos $$ \forall x,y\in\mathbb{R}:\ \left|x-y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|\quad\quad\quad(2), $$ y yo quería mostrar que $(1)$ $(2)$ son equivalentes. (La prueba es corto: Si yo sé que $(1)$ es cierto, y quiero probar a $(2)$, Me tomo algo de arbitrario $x,y\in\mathbb{R}$ y enchufe, $x,-y$ $(1)$ y obtener ese $(2)$ -- y lo mismo para la otra implicación.) Esto me hizo la pregunta, si $$ \forall x,y\in\mathbb{R}:\ \left|x+y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right|\ \longleftrightarrow\ \left|x-y\right|\leqslant\left|x\right|+\left|y\right| $$ también fueron de la verdad -- pero yo no podía probar que el uso "habitual de las matemáticas", así que me preguntaba esta tal vez es una instancia de un general de la lógica de la regla.

Answer 1

Respondiendo a la primera pregunta, no tiene sentido formalmente pedir nada sin una teoría formal. De manera informal tiene sentido, todo lo que hace (o cualquier cosa que no se).

Respondiendo a la segunda pregunta, con el estándar de 'significado' para $\forall$ $\to$ y dado un lugar de predicados $\varphi$$\psi$ , no es cierto que el $$\forall x\varphi(x)\leftrightarrow \forall x\psi (x)\iff \forall x(\varphi(x)\leftrightarrow \psi(x)).$$

Como un ejemplo, en $\sf ZFC$, vamos $$\varphi(x): x\text{ is a real number and }x>0,$$ $$\psi(x): x\text{ is a real number and }x\text{ is invertible}.$$

Claramente $\forall x(\varphi(x)\leftrightarrow \psi(x))$ es falso, ya que hay negativa invertible elementos y $\forall x\varphi(x)\leftrightarrow \forall x\psi (x)$ es verdad porque tanto $\forall x\varphi(x)$ $\forall x\psi (x)$ son falsas.

Recordemos que $\leftrightarrow$ es prescindible si usted tiene $\neg$$\lor$. Con esto en mente, uno se sospecha que la equivalencia no podía sostener a causa de la no-distributivy de $\forall$$\lor$.

Answer 2

No tiene sentido hacer la pregunta sin ningún framework, pero ciertamente estamos trabajando en algunos de primer orden de la lī ogica. Tiene sentido preguntar si las declaraciones son lógicamente equivalentes.

No son equivalentes en esta generalidad, sin embargo. Usted puede comprobar esto mediante la construcción de una estructura de ejemplo donde una declaración sostiene pero el otro no. Si fueran equivalentes, tendrían que tener el mismo valor de verdad dondequiera que los interpretan.

E. g.: Nuestra estructura se compone de 2 objetos de $\{A, B\}$, y vamos a utilizar dos predicados $\phi$$\psi$, lo que vamos a interpretar, de manera que

$\phi(A)$ es cierto

$\psi(A)$ es falso

$\phi(B)$ es falso

$\psi(B)$ es cierto

En esta estructura, $\forall x\phi(x)$ $\forall x \psi(x)$ son falsas, por lo $\forall x \phi(x) \leftrightarrow \forall x \psi(x)$ es cierto, pero $\forall x (\phi(x)\leftrightarrow \psi(x))$ es falso.

Como una nota del lado, la implicación no tiene una forma en general: si $\forall x (\phi(x)\leftrightarrow\psi(x))$,$\forall x \phi(x) \leftrightarrow \forall x \psi(x)$. Así, usted puede "distribuir" a través de, lo que la hace más débil, pero no se puede, en general, "factor".

Answer 3

Es posible que desee buscar en Skolemization en el que nos movemos todos los quatifiers a la izquierda al final de la expresión, debido a algunas de sus propiedades distributiva. el pesar de lo que usted dice es falso en general, una lista de distribución leyes que realmente funciona se puede encontrar aquí (2.13 (d))

Answer 4

Esta es una respuesta parcial dado por el bien de ella. Por eso me he hecho wiki de la comunidad.

El siguiente es construido a partir de una ruta de acceso de un tableau, que podía producir aquí si te gusta (pero va a tardar un rato).

Supongamos que $$\color{red}{(\forall x\varphi(x)\leftrightarrow \forall x\psi (x))}\leftrightarrow \color{blue}{\forall x(\varphi(x)\leftrightarrow \psi(x))}.$$ Then if $\color{red}{\neg (\forall x\varphi(x)\leftrightarrow \forall x\psi (x))}$ holds, then $\color{blue}{\neg \forall x(\varphi(x)\leftrightarrow \psi(x))}$ holds and so we can "instantiate" and say that there exists an $\color{blue}{a}$ such that $$\color{blue}{\neg (\varphi(a)\leftrightarrow \psi(a))}.$$ Assume $\color{blue}{\varphi(a)}$. Now $\color{blue}{\neg\psi(a)}$, but from $\color{red}{\neg (\forall x\varphi(x)\leftrightarrow \forall x\psi (x))}$, if we also assume $\color{red}{\neg\forall x\varphi(x)}$, we get $\color{rojo}{\forall x\psi(x)}$, giving $\color{red}{\psi(un)}$, una contradicción.