Encontrar los autovalores de la energía de Hidrógeno mediante aproximación WKB

Question

Necesito ayuda para encontrar la energía eigen valores de átomo de Hidrógeno utilizando la aproximación WKB. Hasta ahora que yo sepa, la ecuación radial está dada por

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R(r)}{\partial r}\right) + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)R(r) = 0 \tag{1}$$

también sé la relación, para la ecuación de la forma

$$u''(x) + k(x)^2 u(x) = 0 \tag{2}$$

la solución es de la forma (por $E<V$)

$$u(x) = \frac{C_1}{\sqrt{k(x)}} \sin \left( \int^x k(x) dx\right) + \frac{C_2}{\sqrt{k(x)}} \cos \left( \int^x k(x) dx\right)\tag{3}$$

así como la relación

$$\oint \hbar k(x) dx = \left( n + \frac 1 2 \right) \pi \hbar. \tag{4}$$

Tengo la solución en la nota escrita en la clase, pero es difícilmente comprensible. ¿Cómo puedo transformar la ecuación de $(1)$ a de la ecuación de $(2)$ y lo que yo uso para los límites de integración en la ecuación de $(4)$ para obtener la energía autovalor?

He hecho pregunta similar para el oscilador armónico donde los límites de integración en la ecuación de $(4)$ $\pm$ puntos de inflexión (solución de $E(x) = V(x)$) pero no estoy seguro acerca de esto.

AGREGÓ:: Cambio de $R(r) = u(r)/r$ cambios en

$$ \frac{d^2u(r)}{dr^2} + \frac{2 \mu}{\hbar^2} \left( E - V(r) - \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)u(r) = 0. \tag{5}$$

El cambio de $V = -e^2/r$ da

$$\int_{R_{min}}^{R_{max}} \sqrt{2 \mu \left( E + \frac{e^2}{r}- \frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2 \mu r^2}\right)}dr = \left( n + \frac 1 2\right) \hbar \pi.\tag{6}$$

Ahora bien, ¿qué puedo elegir mi límites para $r$? La respuesta final es dado como

$$E_n = - \frac 1 2 \cdot \frac{\mu e^4}{\hbar^2 (n + \ell+1)^2}.\tag{7}$$

Answer 1

Los límites de r debe ser la clásica puntos de inflexión, como usted ha mencionado para el oscilador armónico. Es de suponer que usted está en un estado asociado de Hidrógeno, es decir, que tienen una energía de la forma $\frac{-13.6 eV}{n^2}$ para algún entero n. El problema se reduce entonces a encontrar los ceros de la ecuación $$\frac{-13.6 eV}{n^2} = -\frac{e}{r^2} - \frac{l(l+1) \hbar^2}{2 \mu r^2}$$ como una función de r.

EDIT: Cambiado gs energía de -13.6 MeV para -13.6 eV. Gracias a Ruslan por señalar el error.

Answer 2

¿Cómo puedo transformar la ecuación (1) ecuación (2)

enchufe $R(r)=u(r)/r$ a (1), se obtendrá (2) de inmediato, donde$k(x)$, sería la expresión antes de $R(r)$ en el segundo término de (2)

y ¿qué puedo usar para los límites de integración en la ecuación (4) para obtener la energía autovalor?

$\int_0^\infty$

Answer 3

Usted es lidiar con la acción de las variables para las integraciones extrem siempre se dan por la clásica trayectoria. Así que para el hidrogen átomo en estado unida a 2 veces la distancia entre R1 y R2.