La pregunta es muy difícil. Damos una breve descripción de lo que se conoce.
Si $n$ no es un número primo, entonces no podemos "dividir por $2$" $n-1$ veces. En más de un lenguaje convencional, si $n$ no es primo, entonces el orden de $2$ modulo $n$ no es igual a $n-1$/
Si $n$ es primo, es posible que el orden de $2$$n-1$, es decir, para $2$ a ser un generador del grupo multiplicativo, para $2$ a ser una raíz primitiva de $n$.
Si el primer $n$ es de la forma$8k\pm 1$, $2$ no puede ser una raíz primitiva de $n$. Sin embargo, poco se sabe de los números primos de la forma $8k\pm 3$. Aun no se sabe si existen infinitos números primos que han $2$ como una raíz primitiva, a pesar de que hay una abrumadora evidencia numérica que hay.
Tenga en cuenta que su cálculo demostró que $2$ no es una raíz primitiva de $7$ (esto también puede ser mostrado sin cálculo, ya que $7$ es de la forma $8k-1$).
También mostró que el $2$ es una raíz primitiva de $11$.
Más en general, incluso para el prime $n$, no es mucho lo que puede decirse acerca de la orden de $2$ modulo $n$, es decir, el número de divisiones hasta llegar a $1$. Es fácil que el hecho de que el orden debe dividir $n-1$. Para los no primos $n$, podemos decir que el orden de las $2$ divide $\varphi(n)$ donde $\varphi$ es el de Euler $\varphi$-función. Esto puede ser reemplazado por el Carmichael función de $\lambda$.
El problema se puede expresar de forma equivalente, como una pregunta acerca de la longitud del ciclo de los binarios de expansión de $\frac{1}{n}$ donde $n$ es impar.
