Me preguntaba si existe alguna distribución además de la normal en la que la media y la varianza sean independientes entre sí (o dicho de otro modo, en la que la varianza no sea función de la media).
@onestop Supongo que es un desafortunado artefacto de mi edad. No es un eufemismo decir que los libros de Feller revolucionaron la forma de hacer probabilidad, en todo el mundo. Gran parte de nuestra notación moderna se debe a él. Durante décadas, sus libros fueron el libros de probabilidad para estudiar. Quizá deberían seguir siéndolo. BTW: He añadido el título para aquellos que no han oído hablar de sus libros.
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No estoy seguro de haber entendido bien la pregunta. ¿Estás preguntando si hay alguna distribución aparte de la normal que esté completamente especificada por la media y la varianza? En cierto sentido, la varianza es una función de la media, ya que es una medida de la dispersión alrededor de la media, pero supongo que esto no es lo que tienes en mente.
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Se refiere a la media muestral $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ y la varianza muestral $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$ son independientes. ¡Buena pregunta! ¿Quizás proyectando una variable aleatoria gaussiana se mantenga la independencia?
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Srikant tiene razón. Si la pregunta se refiere a la "media y la varianza muestrales", la respuesta es "no". Si la pregunta se refiere a la media y la varianza de la población, la respuesta es sí; David da buenos ejemplos a continuación.
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Sólo para aclarar, lo que quería decir es esto. Para la distribución normal, la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ caracteriza completamente la distribución y $\sigma^2$ no es función de $\mu$ . Para muchas otras distribuciones, esto no es así. Por ejemplo, para la distribución binomial, tenemos la media $\pi$ y la varianza $n\pi(1-\pi)$ por lo que la varianza es función de la media. Otros ejemplos son la distribución gamma con parámetros $\theta$ (escala) y $\kappa$ (forma), donde la media es $\mu = \kappa \theta$ y la varianza es $\kappa theta^2$ por lo que la varianza es en realidad $\mu \theta$ .
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Considere entonces la posibilidad de modificar su pregunta, ya que la respuesta que ha marcado como preferida no no responder a la pregunta tal cual (y la otra sí). Actualmente estás utilizando la palabra "independiente" de una manera idiosincrásica. Tu ejemplo con Gamma lo demuestra: uno podría simplemente reparametrizar Gamma en términos de la media (mu) y la varianza (sigma), porque podemos recuperar theta = sigma/mu y kappa = mu^2/sigma. En otras palabras, funcional La "independencia" de los parámetros suele carecer de sentido (salvo en el caso de familias de un solo parámetro).