Un número ordinal que cumple $2^\alpha=\alpha$

Question

Cómo demostrar que si un número ordinal $\alpha$ satisface $2^\alpha=\alpha$ y $\alpha\gt\omega$ entonces $\alpha$ es un número épsilon, es decir, $\omega^\alpha=\alpha$ . Encontré esta pregunta en Un libro de teoría de conjuntos escrito por Charles C. Pinter. No tengo ni idea. ¿Puede alguien ayudarme?

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De hecho, la pregunta original es: Demuestra que $$ ($ > $) is an epsilon number if and only if $ 2^= $. One way is just straightforward. But for the other way, my attempt is let $ = $. (Indeed, $$ debe ser un ordinal límite). Entonces es fácil obtener que $2^{}=$ lo que implica que $^=$ . Entonces es fácil conseguir que $2^{}=$ lo que implica que $^=$ . Entonces $=+$ . (Omitiré la prueba de que $>$ .) En $^=$ se deduce que: $$(+)=^{+}=(^)(^)=(^{1+}) \cdot (^)= \cdot ^{+}.$$ Entonces de $(+)= \cdot ^{+}$ tenemos $+=^{+}$ lo que significa $=+$ es un número épsilon; por último $=$ es un número épsilon. ¿Hay algún error?

Answer 1

Respuesta editada dos veces:

Sí, tu intento funciona. Aquí está en más detalle (y marco la respuesta como wiki conmutación).

Primero dividimos $\alpha$ por $\omega$ para obtener $\alpha = \omega\gamma + n$ para algunos ordinales determinados unívocamente $\gamma$ y $n$ con $n<\omega$ . Entonces $\alpha = 2^\alpha = 2^{\omega\gamma}2^n = (2^\omega)^\gamma 2^n = \omega^\gamma 2^n$ . Desde $\alpha>\omega$ debemos tener $\gamma>0$ y vemos que $\alpha$ debe ser un ordinal límite, por lo que $n$ debe ser $0$ . Concluimos que $\alpha = \omega\gamma = \omega^\gamma$ .

¿Podríamos tener $\gamma<\omega$ ? Tenga en cuenta que $2^{\omega^{n+1}} = \omega^{\omega^n}$ para $n<\omega$ (por inducción en $n$ ), por lo que eso no puede ocurrir. Pero entonces podemos volver a dividir por $\omega$ para obtener $\gamma=\omega\beta+m$ con $\beta>0$ y $m<\omega$ . Así $\alpha=\omega\gamma = \omega^2\beta + \omega m$ con $\beta>0$ . Por lo tanto $\omega + \alpha = \alpha$ y esta es la clave.

Ahora todo va sobre ruedas: $\omega\alpha = \omega 2^\alpha = 2^\omega 2^\alpha = 2^{\omega + \alpha} = 2^\alpha = \alpha$ . Y por último, $\omega^\alpha = (2^\omega)^\alpha = 2^{\omega\alpha} = 2^\alpha = \alpha$ .