Resolver la ecuación determinante en

Question

Vamos $a,b,c,m,n,p\in \mathbb{R}^{*}$, $a+m+n=p+b+c$. Resolver la ecuación:

$$\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m& n& p& x \end{vmatrix} =0$$

Yo había usado el complemento de Schur ( $\det(M)=\det(A)\cdot (D-C\cdot A^{-1}\cdot B)$ , $M= \begin{bmatrix} A &B \\ C & D \end{bmatrix})$, pero no me ayudó.

Answer 1

$$\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m& n& p& x \end{vmatrix}=0$$ Restar la primera fila a la segunda fila, reste la tercera fila de la cuarta fila: $$\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ a-x & x-a & 0 &0 \\ m &n & x &p \\ 0& 0& p-x& x-p \end{vmatrix}=0$$ Factorizar $(a-x)$$(x-p)$: $$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ 1 & -1 & 0 &0 \\ m &n & x &p \\ 0& 0& -1& 1 \end{vmatrix}=0$$ Agregar la primera columna a la segunda columna: $$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} x & a+x & b &c \\ 1 & 0 & 0 &0 \\ m &n+m & x &p \\ 0& 0& -1& 1 \end{vmatrix}=0$$ Calcular el determinante mediante el uso de la segunda fila: $$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} a+x & b &c \\ n+m & x &p \\ 0& -1& 1 \end{vmatrix}=0$$ Agregar la tercera columna a la segunda columna: $$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} a+x & b+c &c \\ n+m & p+x &p \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}=0$$

Expanda el factor determinante por el último de la fila:

$$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} a+x & b+c \\ n+m & p+x \\ \end{vmatrix}=0$$ La adición de la primera fila a la segunda fila: $$(a-x)(x-p)\begin{vmatrix} a+x & b+c \\ x+a+n+m & b+c+p+x \\ \end{vmatrix}=0$$ Factorizar $(x+a+n+m)$ desde $a+m+n=b+c+p$:

$$(a-x)(x-p)(x+a+n+m)\begin{vmatrix} a+x & b+c \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=0$$

$$(a-x)(x-p)(x+a+n+m)(x+a-b-c)=0$$

Answer 2

La ecuación $$\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m& n& p& x \end{vmatrix} =0$$ es equivalente a $p_A(-x)=0$ donde $p_A$ es el polinomio característico de $$A=\begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ a & 0 & b & c \\ m &n & 0 &p \\ m& n& p& 0 \end{pmatrix};$$ hence the roots of your equation must be the opposite of the eigenvalues of $A$. The condition that $a+m+n=b+c+p$ is equivalent to $a-b-c=-m-n+p$, which tells you that $(1,1,-1,-1)$ is an eigenvector, with associated eigenvalue $a-b-c$. Moreover $-a$ and $-p$ are obviously eigenvalues, and the trace of the matrix is $0$; hence the sum of the eigenvalues is zero, which means that the last eigenvalue must be $b+c-a+a+p=b+c+p$.

Así que las soluciones de la ecuación son $a$, $p$, $-(b+c+p)$ y $b+c-a$.

Answer 3

Restar la primera línea de la segunda: $$\begin{vmatrix} x & a & b &c \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m& n& p& x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-a & a-x & 0 &0 \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m & n& p& x \end{vmatrix}=(x-a)\begin{vmatrix} 1 &-1 & 0 &0 \\ a & x & b &c \\ m &n & x &p \\ m & n& p& x \end{vmatrix}=$$ $1.$ Multiplicar la primera por $-a$ y añadir en la segunda

$2.$ Multiplicar la primera por $-m$ y añadir en el tercer

$3.$ Multiplicar la primera por $-m$ y agregar en la vuelta

$$(x-a)\begin{vmatrix} 1 &-1 & 0 &0 \\ 0 & x+a & b &c \\ 0 &m+n & x &p \\ 0 &m+ n& p& x \end{vmatrix}=$$

Cuarta línea, menos de la tercera:

$$(x-a)\begin{vmatrix} 1 &-1 & 0 &0 \\ 0 & x+a & b &c \\ 0 &m+n & x &p \\ 0 &0& p-x& x-p \end{vmatrix}=(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} 1 &-1 & 0 &0 \\ 0 & x+a & b &c \\ 0 &m+n & x &p \\ 0 &0& -1& 1 \end{vmatrix}=$$

Teorema de Laplace en la primera columna $$(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} x+a & b &c \\ m+n & x &p \\ 0& -1& 1 \end{vmatrix}=0$$

Añadir la segunda y tercera columna, en la segunda

$$(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} x+a & b+c &c \\ m+n & x+p &p \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}=0$$

Laplace en la tercera línea

$$(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} x+a & b+c \\ m+n & x+p \\ \end{vmatrix}=0$$

Ahora $a+m+n=p+b+c=k$

$$(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} x+a & k-p \\ k-a & x+p \\ \end{vmatrix}=0$$

Agregar la primera línea de la segunda

$$(x-a)(x-p)\begin{vmatrix} x+a & k-p \\ x+k & x+k \\ \end{vmatrix}=(x-a)(x-p)(x+k)\begin{vmatrix} x+a & k-p \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=0$$

$$(x-a)(x-p)(x+k)(x+a+p-k)=0$$

$$(x-a)(x-p)(x+k)(x+a+p-k)=0$$

Answer 4

Los pasos son: Restar la primera línea de la segunda:

1.Multiplicar la primera por −un−un y agregar en la segunda

2. Multiplicar la primera por −m−m y añadir en el tercer

3. Multiplicar la primera por −m−m y agregar el 4

Cuarta línea, menos de la tercera

Lugar teorema en la primera columna

Añadir la segunda y la 3ª columna en la segunda

Lugar en la tercera línea

Ahora a+m+n=p+b+c=ka+m+n=p+b+c=k entonces

Agregar 1ª línea en el segundo