Probar que: $\zeta(3)=\lim_{N\to \infty}{1\over N}\sum_{k=1}^{N}{1\over k^{\phi^2}\ln{\left(1+{k^{\phi^{-2}}\over N}\right)}}$

Question

Demostrar que: $$\zeta(3)=\lim_{N\to \infty}{1\over N}\sum_{k=1}^{N}{1\over k^{\phi^2}\ln{\left(1+{k^{\phi^{-2}}\over N}\right)}}$$ donde $\phi$ es la proporción áurea y $\zeta(3)$ es el Apery constante.

Yo: Converge muy lentamente cuando he probado es una suma de la calculadora.

Vamos a sumarse a cabo

$$\zeta(3)=\lim_{N\to\infty}{1\over \ln{\left(1+{1\over N}\right)}}+{1\over 2^{\phi^{2}}\ln{\left(1+{2^{\phi^{-2}}\over N}\right)}}+{1\over 3^{\phi^{2}}\ln{\left(1+{3^{\phi^{-2}}\over N}\right)}}\cdots\tag1$$

$$\zeta(3)=1+{1\over2^3}+{1\over3^3}+\cdots$$

$$\zeta(\phi^2)=1+{1\over2^{\phi^2}}+{1\over3^{\phi^2}}+\cdots$$ Me pregunto ¿hay una suma de esta forma

$$S={1\over \ln{A_1}}+{1\over \ln{A_2}^2}+{1\over \ln{A_3}^3}+\cdots$$

Puede ser esta suma podría ser útil

$$\ln{\left(n^s\over n^s-1\right)}=\sum_{r=1}^{\infty}{1\over n^{sr}\cdot{r}}$$

Me pregunto si podríamos aplicar geométrica de la suma[suma a $\infty$] a $(1)$

$$S_{\infty}={a\over 1-r}$$

$$=1+{1\over r}+{1\over r^2}+{1\over r^3}+\cdots$$

Necesito ayuda sobre cómo demostrar (1)

Answer 1

Estimación aproximada: Tenemos $\log(1+x) \approx x$$|x| \ll 1$, por lo que para un gran $N$ la suma es de aproximadamente

$$ \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^{\phi^2}\log\left(1 + \frac{k^{\phi^{-2}}}{N}\right)} \approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{k^{\phi^2 +\phi^{-2}}} = \sum_{k=1}^N \frac{1}{k^3}$$ desde $\phi^2 + \phi^{-2} = 3$. Para probar esto de forma más rigurosa que necesitamos para controlar el error de esta aproximación.

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Prueba: Vamos a $S_N = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^{\phi^2}\log\left(1 + \frac{k^{\phi^{-2}}}{N}\right)}$ $$S_N - \sum_{k=1}^N\frac{1}{k^3} = \sum_{k=1}^N\frac{1}{k^3}\left[\frac{\frac{k^{\phi^{-2}}}{N}-\log\left(1 + \frac{k^{\phi^{-2}}}{N}\right)}{\log\left(1 + \frac{k^{\phi^{-2}}}{N}\right)}\right]$$

Ahora$^{(1)}$ $0 \leq \frac{x - \log(1+x)}{\log(1+x)} \leq \frac{x}{2}$ para $x\geq 0$ nos da $$0 \leq S_N - \sum_{k=1}^N\frac{1}{k^3} \leq \frac{1}{2N}\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^{3 - \phi^{-2}}}$$ que converge a $0$ $N\to\infty$ como la serie en el lado derecho es convergente ($3-\phi^{-2} \simeq 2.6 > 1$).

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Generalización: Una generalización del problema que puede ser probada en exactamente la misma manera es: si $0<A$, $0<B<1$ con $A+B>1$ $$\zeta(A+B) = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \frac{1}{k^{A}\log\left(1 + \frac{k^{B}}{N}\right)}$$

$^{(1)}$ Considera $f(x) = \frac{x}{2} - \frac{x}{\log(1+x)} +1$ $\lim_{x\to 0}f(x) = 0$ y $f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{\frac{x}{1+x} - \log(1+x)}{\log^2(1+x)}$ $= \frac{x}{6} - \frac{x^2}{8} + \ldots > 0$ por lo suficientemente pequeño como $x$ (pero resulta que esto tiene para todos los $x>0$).