El cálculo de la suma de $\sum\frac{n^2-2}{n!}$

Question

El cálculo de la suma de $\sum\frac{n^2-2}{n!}$

Quiero calcular la suma de $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2-2}{n!}$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2-2}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}-2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{(n-1)!}-2e$$

Y aquí no sé cómo lidiar con el $\frac{n}{(n-1)!} $. Algún consejo?

EDITAR: Una de las respuestas recomienda escribir la suma de la siguiente manera:

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2-2}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}-2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$

Lo que equivale a:

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!}-2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n-1)}{(n-1)!}+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)!} -2e$$

Pero aquí he negativo factoriales. ¿Qué debo hacer a continuación? O puedo decir que $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)!}=e$?

Answer 1

Sugerencia:Escribir $$ \frac{n^2-2}{n!}=\frac{n(n-1)}{n!}+\frac{n}{n!}-\frac2{n!} $$

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Tenga en cuenta que al arrojar términos que son cero, $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{n(n-1)}{n!}=\sum_{n=2}^\infty\frac{n(n-1)}{n!} $$ y $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{n}{n!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n!} $$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un camino a seguir que puede ser aplicado a una amplia clase de problemas.

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La serie de Taylor de la representación de la función exponencial está dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}} \tag 1$$

La diferenciación $(1)$ término por término, vemos que

$$\frac{d\,e^x}{dx}=e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n!} \tag2$$

por el cual multiplicar $(2)$ $x$ revela

$$xe^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{nx^n}{n!} \tag 3$$

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La diferenciación $(3)$, multiplicando por $x$, y restando $2e^x$, obtenemos

$$(x^2+x-2)e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n^2-2)\,x^{n}}{n!} \tag 4$$

Por último, el establecimiento $x=1$ $(4)$ rendimientos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{n=0}\frac{n^2-2}{n!}=0}$$

y hemos terminado!

Answer 3

Como por este post, hemos

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^p}{n!}=B_pe$$

donde $B_n$ $n$th Campana número.

Answer 4

Ajustar los índices, de manera que usted tiene $\frac {n+1}{n!}$ y separarlos en $\frac n{n!}+\frac1{n!}$.

Answer 5

probar por inducción que $$\sum_{i=1}^n\frac{i^2-2}{i!}=-{\frac { \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }{ \left( n+1 \right) !}}+2 $$