no apto grupos y sus productos directos

Question

Un grupo de $H$ se dice que es capaz si hay un grupo de $G$ tal que $G/Z(G)\cong H$.

Es bien sabido que $G/Z(G)$ nunca puede ser cíclico de orden $>1$; de manera cíclica grupos no son capaces.

Más interesante: cuaterniones grupo $Q_8$ no es capaz: no es $G$ con $G/Z(G)\cong Q_8$.

Ahora $Z_p$ (cíclico de orden $p$) no es capaz; pero $Z_p\times Z_p$ es capaz.

Esto plantea la pregunta, es $Q_8\times Q_8$ capaz? En general,

P. Dado cualquier grupo $H$ $H\times H$ capaz?

---

Edit: hay un ejemplo conocido de un grupo finito $H$ tal que $H\times H$ es no capaz?

Answer 1

Shahriar Shahriari demostrado en normal subgrupos capaz de grupos, Arch. De matemáticas. (Basilea) 48 (1987) no.3 193-198, SEÑOR 0880078 (88e:20026), entre otras cosas, que si un grupo finito $G$ contiene un subgrupo normal $H$ que es generalizada cuaterniones de orden $2^n$, $n\gt 2$, o semidihedral de orden $2^n$, $n\gt 3$, a continuación, $G$ no es capaz. Esta muestra de inmediato que $Q_8\times Q_8$ no puede ser capaz (y, más en general, le da un montón de ejemplos de grupos de $H$ tal que $H\times H$ no es capaz; tenga en cuenta que si $H$ es capaz, entonces también lo es $H\times H$, ya que cualquier testimonio $K$ a la capacidad de las $H$ rendimientos $K\times K$ como un testimonio de la capacidad de $H\times H$).

Shahriari también demostró que si $G$ es finito nilpotent y contiene un subgrupo normal $H$ que es un extraspecial $p$-grupos, con el fin de $p^3$ y el exponente $p$, $p$ no extraña, entonces, $G$ no es capaz.

Finalmente, Shahriari demuestra los siguientes:

Teorema (Prop. 3.2 en el citado documento) Deje $G$ ser un grupo finito. Si $G = QC_Q(G)$ algunos $Q\leq G$, e $1\neq M\subseteq Z^*(Q)\cap[Q,Q]$,$M\subseteq Z^*(G)$; en particular, $G$ no es capaz.

Aquí, $Z^*(Q)$ es el epicentro de la $Q$ (similar con $G$). El epicentro es la obstrucción a la capacidad: es la más pequeña central subgrupo de $G$ tal que $G/Z^*(G)$ es capaz.

Answer 2

En el artículo "Sobre los grupos que se producen como centro de factor de grupos, J. Álgebra, 61 (1979)" F. R. Beyl, U. Felgner y P. Schmid presente una condición en la cual la capacidad de un producto directo de un número finito de grupos implica la capacidad de cada uno de los factores. Para más detalles, ver la sección $6$. Así que para muchas clases de grupos, la condición de que $H\times H$ es capaz ya implica que $H$ es capaz. Por ejemplo, si dejamos $G$ $p$- grupo de clase en la mayoría de los dos y máximo exponente impar, entonces obtenemos que si $G$ es un trivial directa del producto, a continuación, $G$ es capaz si y sólo si cada factor directo es capaz o no trivial cíclico. Existen además de los artículos de Arturo Magidin sobre este tema.

Supongo que puede decidir la cuestión en productos directos de cuaterniones grupos con estos resultados, pero yo no la búsqueda de "el tiempo suficiente" para encontrar en la literatura. También hay una clasificación de extra-especial capaz $p$-grupos, ver Corolario 8.2 en el papel por encima.