Creo que puedo mostrar que existe una cantidad infinita de valores de $a$, $b$ y $c$ que satisfacen las condiciones de su pregunta. Sabemos que
$$x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
es la fórmula de las dos soluciones de la $x_1$ $x_2$ de los de segundo grado ecuación de $ax^2+bx+c=0$. La ecuación tiene raíces racionales si $\Delta_1 =b^2-4ac$ es un número cuadrado.
Con $(a+1)x^2+bx+c=0$ tenemos que $\Delta_2=b^2-4ac-4c$ que también ha de ser un número cuadrado (de lo contrario las soluciones no sería racional). Básicamente podemos decir que el $\Delta_1$ $\Delta_2$ son dos números al cuadrado que difieren en un múltiplo de 4.
Tenga en cuenta que cada dos número que difieren en un múltiplo de $2$, cuadrado difieren por un factor de $4$; por ejemplo, $3^2$ $5^2$ difieren en un múltiplo de $4$.
Con estos supuestos, podemos construir $\Delta_1$ $\Delta_2$ tales que su diferencia es un múltiplo de a $4$ y son ambos números al cuadrado. Podemos establecer, como un ejemplo, $\Delta_1=49$; de ello se sigue que $\Delta_2 = 25$, son dos números al cuadrado que difieren en un múltiplo de $4$. Desde $\Delta_1 - \Delta_2=4c$
$$\Delta_1 - \Delta_2=4c;\ 4c=49-25 \rightarrow c=6$$
para obtener el resto de valores utilizamos la ecuación
$$\Delta_1= b^2-4ac=b^2-16c=49$$
Los cuales pueden ser satisfechos por infinitos valores de$a$$b$; si queremos que $b$ a ser un número natural, podemos ver que si $b^2=64$
$$64-40a=49 \rightarrow a=\frac{64-49}{40}=\frac58$$
Al final tenemos $a=\frac58$, $b=8$ y $c=6$
$$\frac58 x^2+8x+6=0 \rightarrow x_1=-\frac{4}5, x_2=-12$$
$$\left(\frac58 +1\right)x^2+8x+6=0 \rightarrow x_1=-\frac{12}{13}, x_2=-4$$
