Si $ax^2+bx+c=0$ tiene raíces racionales, a continuación, $(a+1)x^2+bx+c=0$ no tiene raíces racionales

Question

Yo estaba trabajando en ecuaciones cuadráticas y encontrado el siguiente hecho de que:

"Si $ax^2+bx+c=0$ tiene raíces racionales, a continuación, $(a+1)x^2+bx+c=0$ no tiene raíces racionales donde $a,b,c\in\mathbb N$"

Y ahora tengo que probar o refutar que

Y sé que el primer comentario será "mostrar sus esfuerzos"

Así que he supuesto que si una ecuación cuadrática tiene raíces racionales, a continuación, $b^2-4ac$ debe ser un cuadrado perfecto.

La aplicación tanto de la ecuación conseguí $k^2-4c=l^2$ para algunos entero $k$ & $l$.

Cómo proceder ahora???

Por favor ayuda!!

Answer 1

Si no estoy haciendo un tonto error, creo que no es cierto.

Supongamos que hay dos ecuaciones cuadráticas $3x^2+5x+2=0$$2x^2+5x+2=0$.

Las raíces de la primera se $\frac{-2}{3},-1$ y las raíces de la segunda se $\frac{-1}{2},-2$

Answer 2

Creo que puedo mostrar que existe una cantidad infinita de valores de $a$, $b$ y $c$ que satisfacen las condiciones de su pregunta. Sabemos que

$$x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ es la fórmula de las dos soluciones de la $x_1$ $x_2$ de los de segundo grado ecuación de $ax^2+bx+c=0$. La ecuación tiene raíces racionales si $\Delta_1 =b^2-4ac$ es un número cuadrado.

Con $(a+1)x^2+bx+c=0$ tenemos que $\Delta_2=b^2-4ac-4c$ que también ha de ser un número cuadrado (de lo contrario las soluciones no sería racional). Básicamente podemos decir que el $\Delta_1$ $\Delta_2$ son dos números al cuadrado que difieren en un múltiplo de 4.

Tenga en cuenta que cada dos número que difieren en un múltiplo de $2$, cuadrado difieren por un factor de $4$; por ejemplo, $3^2$ $5^2$ difieren en un múltiplo de $4$.

Con estos supuestos, podemos construir $\Delta_1$ $\Delta_2$ tales que su diferencia es un múltiplo de a $4$ y son ambos números al cuadrado. Podemos establecer, como un ejemplo, $\Delta_1=49$; de ello se sigue que $\Delta_2 = 25$, son dos números al cuadrado que difieren en un múltiplo de $4$. Desde $\Delta_1 - \Delta_2=4c$

$$\Delta_1 - \Delta_2=4c;\ 4c=49-25 \rightarrow c=6$$ para obtener el resto de valores utilizamos la ecuación

$$\Delta_1= b^2-4ac=b^2-16c=49$$ Los cuales pueden ser satisfechos por infinitos valores de$a$$b$; si queremos que $b$ a ser un número natural, podemos ver que si $b^2=64$

$$64-40a=49 \rightarrow a=\frac{64-49}{40}=\frac58$$ Al final tenemos $a=\frac58$, $b=8$ y $c=6$

$$\frac58 x^2+8x+6=0 \rightarrow x_1=-\frac{4}5, x_2=-12$$ $$\left(\frac58 +1\right)x^2+8x+6=0 \rightarrow x_1=-\frac{12}{13}, x_2=-4$$