Se puede saber basado en los momentos de la variable aleatoria si es continua o no

Question

Supongamos que tenemos momentos de una variable aleatoria $X$. Podemos determinar basados en esto, si la variable aleatoria es continua o no?

Vamos a suponer también que los momentos de $X$ completamente determinar la distribución de los $X$.

En otras palabras, ¿los momentos de una variable aleatoria continua se comportan fundamentalmente diferente de los momentos de decir discrete variable aleatoria?

Gracias, espero con ansias sus ideas.

Editar: Parece que hubo un poco de confusión con las preguntas. Permítanme demostrar con un ejemplo de lo que tengo en mente.

Supongamos que se nos da momentos de cierta variable aleatoria $X$ \begin{align} E[ X^n]=\frac{1}{1+n}, \end{align} para $n \ge 0$.

Podemos determinar si la distribución de los $X$ es continua o no?

En este ejemplo, tomé $X$ a de ser continuo uniforme en $(0,1)$.

Algunos Pensamientos: Ya sabemos que los momentos se puede reconstruir la función característica de a $X$ (creo que esto se puede hacer, ¿verdad? Si no vamos a asumir este) \begin{align} \phi_X(t) =\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n E[X^n]}{n!} t^n \end{align}

También sabemos que $X$ tiene un pdf iff $\phi_X(t) \in L_1$.

Así que parece ser que es suficiente para demostrar que \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \left| \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n E[X^n]}{n!} t^n \right| dt \end{align} es finito o no. Sin embargo, no creo que el enfoque anterior, como no podemos cambiar la integración y totalización.

Answer 1

Dudo que hay algunos factible condiciones universales por dos razones:

1. Si el momento el problema es indeterminado, entonces no puede ser discretos y continuos variables aleatorias con la misma momentos. Por ejemplo, se sabe que hay una familia infinita de discretas variables aleatorias tener los mismos momentos como el registro de la distribución normal (ver, por ejemplo, Stoyanov Contraejemplos en Probabilidad).

2. Uno puede aproximarse a una distribución continua con discretas y viceversa. Para los momentos de la distribución discreta puede ser muy cercanos a los de una distribución continua.

Por supuesto, es posible formular una infinidad de condiciones suficientes para que una distribución sea discreta. Ejemplo: Supongamos $\mu_n = \mathsf{E}[X^n]$. Si $\mu_8 - 10\mu_6 + 33\mu_4 - 40\mu_2 + 16=0$, $X$ es discreto (por otra parte, $X\in\{\pm1, \pm2\}$.s.).

Answer 2

No está claro qué es esto de hacer, por si los momentos de determinar la distribución, entonces usted sólo tiene que observar el resultado de la distribución y ver si es continua.

Pero, por supuesto, los momentos no determinar la distribución: dos distribuciones en los reales que difieren en un solo punto de tener los mismos momentos. Y si uno es continua; el otro será discontinua.

Tal vez usted se está preguntando: "Dado un conjunto de momentos para la distribución, hay una manera de determinar si alguna otra distribución equivalente (equivalente en el sentido de tener los mismos momentos) es continua en todas partes?"