¿Cuándo cada grupo con orden divisible por $n$ tiene un subgrupo de orden $n$?

Question

De acuerdo a del teorema de Sylow, cada grupo finito con el fin divisible por $p^k$ para algunos de los mejores $p$ tiene un subgrupo de orden $p^k$. Es este el mejor resultado posible en esta dirección? Es decir, si $$ n no es una potencia de un primo, no siempre existe un grupo con el fin divisible por $n$ que no tiene un subgrupo de orden $n$?

EDIT: Solo para aclarar, soy consciente de que grupos como este existe. El ejemplo estándar parece ser de $A_4$, que ha pedido divisible por $6$ pero ningún subgrupo de orden $6$. Lo que estoy buscando es una prueba de que un contraejemplo existe para cualquier $$ n que no es una potencia de un primo.

Answer 1

Aquí es una prueba de que la respuesta es sí. Supongamos primero que a $n = p^aq^b$ con $p,q$ prime, $a,b>0$, y supongamos que $p^a > q^b$. Vamos a $c$ ser mínimas tales que $p^$ divide a $p^c-1$ - tan claramente $c > b$. A continuación, un fiel irreductible módulo para el grupo cíclico de orden $p^$ en el campo de la orden $q$ ha dimensión $c$. (Usted puede definir la acción de forma explícita como la multiplicación por un elemento de $x$ en el campo de la orden $p^c$, donde $x$ ha multiplicativo de un pedido de $p^$.)

Ahora vamos a $G = Q \rtimes P$ ser el semidirect producto de primaria, grupo abelian $Q$ de pedido de $p^c$ por un grupo cíclico $P$ de pedido de $p^$, el uso de este módulo de acción. Por lo que $Q$ es el único mínimo normal subgrupo de $G$. Un subgrupo de $G$ de pedido de $p^aq^b$ tendría un subgrupo normal de orden $p^b$, que también sería normal en $P$ y por lo tanto normal de $G$, contradicción, por lo que no hay dicho subgrupo.

Para el caso general, vamos a $n = p^aq^br$, donde $r$ es coprime $p$ y $q$. A continuación, un producto directo de $G$, como se construyó, con un grupo cíclico de orden $r$ no tiene subgrupos de orden $n$.

Answer 2

Buena pregunta! Y usted puede también ver investigación en lo siguiente: un grupo CLT (Converse Teorema de Lagrange) es un grupo finito con la propiedad de que para cada divisor del orden del grupo, existe un subgrupo de ese orden. Se sabe que un grupo CLT debe ser solucionable y que cada grupo superresoluble es un grupo CLT: sin embargo existen grupos solubles, que no son CLT y CLT grupos que no son superresoluble.

Answer 3

No sé si estás familiarizado con el teorema de Hall que da una mayor respuesta parcial a su pregunta.

Un subgrupo de Hall $H$ en $ $G con respecto a un conjunto de números primos $\Pi$ tiene la propiedad de que el índice de $| $ G:H| es coprimo a cada elemento en $\Pi$.

Teorema Estados de pasillo soluble grupos subgrupos Hall existen para cada conjunto de números primos. Además para un conjunto determinado de números primos dos subgrupos de salón están conjugado.