Topológicamente enorme gravedad formulado en términos de $\Gamma$ o $\omega$ es el mismo; por ejemplo, en Maloney del papel en el geométrica microstates de las tres dimensiones de agujero negro, que utiliza las $\Gamma$ formulación, y Witten a hablar sobre revisando $2+1$-dimensiones de la gravedad incluye la Chern-Simons término con el giro de la conexión de $\omega$, pero ambos están describiendo la misma teoría.
Una sutileza que me gustaría señalar, al realizar reformulaciones de los campos, se puede modificar en una no-forma trivial. En particular, la gravedad en $2+1$ dimensiones se considera trivial, pero cuando formulado en términos de un medidor de campo de la conexión y el vierbein,
$$A = \begin{pmatrix}
\omega & e\\
-e & 0
\end{pmatrix}$$
permitiendo a no es invertible $e$ y por lo tanto no clásica de configuraciones. Resulta que esto hace que la acción de Einstein-Hilbert mal definido, a menos que el acoplamiento se cuantifica.
Pues parece interesado en topológico de enorme gravedad, y puesto que no era mencionado en los documentos que figuran, me gustaría señalar se ha conjeturado por Witten y otros que si la Frenkel-Lepowsky-Meurman conjetura es verdadera, puede ser que el dual $k=1$ CFT es la teoría, cuya simetría es descrito por el Monstruo grupo - no sé si esta avenida es de interés para usted.
Para muestra explícitamente la equivalencia, parece bastante desordenado. Como punto de partida, la relación entre el giro de la conexión de $\omega$ y la conexión afín $\Gamma$,
$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = e^\lambda_A \partial_\mu e^A_\nu + e^\lambda_A e^B_\nu {\omega_\mu}^A_B$$
donde el capital Romana índices de denotar la base ortonormales y griego índices de coordenadas de la base. Podemos sustituir esto en la Chern-Simons plazo para $\Gamma$, que es explícitamente en el índice de notación,
$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\nu} \Gamma^\rho_{\lambda \sigma} \left( \partial_\mu \Gamma^\sigma_{\rho\nu} + \frac{2}{3} \Gamma^\sigma_{\mu\kappa} \Gamma^\kappa_{\nu\rho}\right),$$
utilizando la definición de la cuña de producto y exterior de derivados. Usando la relación entre las conexiones, así tenemos,
$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\sigma}\left(e^\rho_A \partial_\lambda e^A_\nu + e^\rho_A e^B_\sigma {\omega_\lambda}^A_B \right) \bigg[ \partial_\mu \left( e^\sigma_A \partial_\rho e^A_\nu + e^\sigma_A e^B_\nu {\omega_\rho}^A_B\right)+ \bigg.\\ + \bigg. \frac{2}{3} \left(e^\sigma_A \partial_\mu e^A_\kappa + e^\sigma_A e^B_\kappa {\omega_\mu}^A_B \right) \left( e^\kappa_A \partial_\nu e^A_\rho + e^\kappa_A e^B_\rho {\omega_\nu}^A_B\right)\bigg].$$
En este punto es una cuestión de la tediosa manipulación, que debe esperemos que muestran una equivalencia de la teoría en términos de la vuelta de la conexión.
