Si $H_n(X;\mathbb{Z})$ son todos f. g. libre de abelian, a continuación,$H^*(X;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}_p \cong H^*(X; \mathbb{Z}_p)$?

Question

Un ejercicio de Hatcher libro pide a demostrar que siempre que $X$ es un espacio de la homología de grupos de $H_n(X; \mathbb{Z})$ finitely libres generados por el abelian para cada una de las $n \geq 0$, $H^*(X; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}_p$ $H^*(X;\mathbb{Z}_p)$ son isomorfos como gradual de los anillos.

Sólo he empezado a aprender acerca de la copa del producto y no tengo idea de cómo proceder. Veo que los dos objetos en cuestión son isomorfos como grupos (a partir de la universal de los coeficientes teorema), pero de eso se trata. Así que la pregunta es: cómo probar la declaración en el título de la pregunta?

Answer 1

Sugerencia: $H^n(X)\to H^n(X;\mathbb{Z}_p)$ es un anillo homomorphism. Poner en un lugar bien elegido conmutativo el diagrama, en última instancia usted necesita mostrar que un mapa de $\prod\mathbb{Z}\to\prod\mathbb{Z}_p$ induce un isomorfismo $(\prod\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}_p\to\prod\mathbb{Z}_p$.

Answer 2

El universal coeficiente teorema dice no sólo que los dos son isomorfos como los grupos, pero que un natural de mapa entre ellos, a saber, la reducción de la $\bmod p$ mapa de $H^{\bullet}(X, \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}_p \to H^{\bullet}(X, \mathbb{Z}_p)$, es un isomorfismo. Este mapa siempre respeta la copa de productos (con ninguna de las hipótesis).

Answer 3

Desde $H_n(X;Z)$ finitely libres generados por el abelian para cada una de las $n≥0$ por Lo que el Tor parte desaparecerán en el corto secuencia exacta de homología.Otra observación: Desde homología libre esto implica $H_n(X) = H^n(X)$.Por lo tanto el resultado de la siguiente manera.