¿Cómo puede usted encontrar el radio de convergencia de $\displaystyle\sum z^{n!}$? Estoy acostumbrado a la aplicación de la prueba de razón a la alimentación de la serie de la forma $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$, pero para una potencia diferente de $z$ estoy un poco confundido? ¿Qué acerca de la $\displaystyle\sum z^{2n+a}$ para otro ejemplo? Donde $a\in \mathbb{R}$.
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Did
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Recordemos que el radio de convergencia $R$ de la serie $\sum\limits_na_nz^n$ es tal que para cada número real positivo $r>R$, los verdaderos valores de la secuencia de $(x^{(r)}_n)$ definido por $x^{(r)}_n=|a_n|r^n$ es ilimitado y para cada número real positivo $r<R$, esta misma secuencia $(x^{(r)}_n)$ está acotada.
Esta dicotomía se determina el $R$ única pero, por supuesto, mucho más es cierto, ya que, para cada $r<R$, $x^{(r)}_n\to0$ exponencialmente rápido. Por otro lado, los posibles comportamientos de $(x^{(R)}_n)$ (es decir, en el valor crítico $r=R$) son los más interesantes ya que se puede observar nada entre (no exponencial) la convergencia a cero y (no exponencial) ilimitado.
Aplicación: Considerar ningún tipo de complejos, con valores de secuencia $(a_n)$ tal que $|a_n|\in\{0,1\}$ por cada $n$ e introducir el conjunto de índices de $N=\{n\mid|a_n|=1\}$. Entonces el radio de convergencia de la serie $\sum\limits_na_nz^n$ $R=+\infty$ si $N$ es finito, y $R=1$ si $N$ es infinito.
