Dado que la solución general de la $y''+2y'+xy=0$$y=C_1\int_0^\infty e^{-t^2}\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)dt+C_2\int_0^\infty\biggl(e^{-\frac{t^3}{3}+t^2-xt}+e^{-t^2}\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)dt$, hallar la solución general de la $xy''-(2x+1)y'+x^2y=0$ .
Tenga en cuenta que de acuerdo a la solución Particular de una ecuación de Riccati $y' = 1 + 2y + xy^2$, tanto en $xy''-(2x+1)y'+x^2y=0$ $y''+2y'+xy=0$ provienen de la misma ecuación de Riccati.
La manera obvia, como estoy seguro de que usted probablemente ha visto, es la transformación de la ecuación de $y''+2y'+xy=0$ a de la ecuación de Ricatti $v'=1+2v+xv^2$, y luego a la ecuación estás interesado en $xw''-(2x+1)w'+x^2w=0$. Haciendo esto, se puede ver la relación $$ \frac{w}{w}=x-\frac{y}{y'} $$ que se resuelve, como $$ w=C_1\exp\left(-\int x\frac{y}{y'}\,\mathrm{d}x\right) $$ tomando nota de que $y/y'$ sólo tiene una sola constante. Esta no es la forma que esperamos para 2º orden ecuaciones lineales $(w=c_1w_1+c_2w_2)$ (obviamente no, al menos), pero es la única manera que puedo ver de hacer uso de la solución de la primera ecuación.
La razón por la que creo que no se puede hacer nada mejor viene desde el razonamiento en la solución Particular de una ecuación de Riccati $y' = 1 + 2y + xy^2$, en que no se puede aplicar el kernel método de la ecuación de interés.
Por ejemplo, es fácil de detectar las similitudes entre la solución de la ecuación de Airy: $y''+xy=0$ y la solución que has dado por $y''+2y'+xy=0$ debido a que el núcleo método puede ser utilizado para ambos. Es decir, la diferencia es un factor de $\mu=e^{-t^2}$ que se muestra en el kernel: $$ y=C_1\int_0^\infty \mu\cos\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\mathrm{d}t+C_2\int_0^\infty\biggl(\mu^{-1}e^{-\frac{t^3}{3}-xt}+\mu\sin\biggl(\dfrac{t^3}{3}-xt\biggr)\biggr)\mathrm{d}t. $$
Está usted a fin de establecer en una solución que hace uso de su solución? La ecuación estás interesado en que puede ser resuelto por el poder de la serie, teniendo en cuenta que sólo tiene un punto singular regular en $x=0$.
edit: me hizo notar que reconoció esta última afirmación en el post vinculado, y su razonamiento para ser problemáticos (multi-plazo relación de recurrencia) estoy de acuerdo... pero yo también diría que es mejor que ninguna solución en absoluto.
No estoy seguro si usted tiene su corazón puesto en las soluciones exactas, pero, ¿qué acerca de un perturbativa de la solución? Yo sólo puedo hablar en relativamente términos generales, por ahora, pero espero que este esquema es lo suficientemente claro para orientar sobre qué hacer.
La reescritura de la primera ecuación, de la que conocemos la solución
$$x y''+2 x y' + x^2 y = 0$$
Podemos escribir la solución deseada para esta ecuación como $y_0(x)$. Escribe una forma general de la solución anterior; Mathematica, sin embargo, escribe la forma más compacta como
$$y_0(x) = e^{-x} (a \, \mathrm{Ai}{[e^{i \pi/3} (1-x)]} + b \, \mathrm{Bi}{[e^{i \pi/3} (1-x)]}) $$
$\mathrm{Ai}$ $\mathrm{Bi}$ siendo las funciones de Airy y las constantes $a$ $b$ determinado por las condiciones iniciales no se especifica.
Podemos reescribir la 2ª ecuación de la siguiente manera:
$$x y''+2 x y' + x^2 y = (4 x+1) y'$$
El primer paso en un enfoque perturbative es introducir una "pequeña" parámetro " $\epsilon$ que representa una desviación de la solución inicial. Es decir, podemos escribir la ecuación anterior como
$$x y''+2 x y' + x^2 y = \epsilon (4 x+1) y'$$
Este es un habitual de perturbación debido a la perturbación no se hace en la mayor de derivados (es decir, no hay nuevas soluciones serían introducidas por la perturbación). La solución de $y(x)$ puede entonces escribirse como
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon^n y_n(x)$$
sin saber muy bien si la suma converge. El $y_n(x)$ satisfacer a una relación de recurrencia:
$$x y_n''+2 x y_n' + x^2 y_n = \epsilon (4 x+1) y_{n-1}'$$
donde, para $n \ge 1$, $y_n(0) = 0$, $y_n'(0) = 0$.
Por supuesto, usted no quiere tener que calcular más de un par de términos. También es necesario determinar si el anterior de la serie converge o diverge; si diverge, entonces usted necesita para averiguar cómo muchos términos que usted puede calcular antes de la aproximación ya no funciona. Finalmente, por supuesto, para obtener una aproximación a la solución,$\epsilon = 1$.
Consulte la página 21 sección 0.2 ( y más ) de un Manual de Soluciones Exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .
Buen Look.
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